选填04 二项式定理（九大考点+真题模拟题练）-2024年高考数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

选填04二项式定理 【考点01求展开式中的指定项】 【例1】若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 【例2】设，若.则 . 【变式1-1】在的展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 【变式1-2】的展开式中各项系数之和为64，则的展开式中常数项为 ． 【变式1-3】已知，则 ． 【考点02配凑后求展开式中的指定项】 【例3】若，则（    ） A．6 B．16 C．36 D．90 【例4】若，则（    ） A．40 B． C．80 D． 【变式2-1】已知，则（    ） A． B． C．30 D．60 【变式2-2】若， ． 【变式2-3】对任意的实数x，，则值为（   ） A．60 B．120 C．240 D．480 【考点03有理项的个数】 【例5】在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．13 【变式3-2】的展开式中有理项的个数为 . 【变式3-3】在的展开式中，系数是有理数的项共有 项． 【考点04赋值法求系数和】 【例7】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例8】，则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【变式4-1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，则 . 【变式4-3】若，且，则实数的值为 . 【考点05两个多项式乘积的指定项】 【例9】的展开式中的系数为（    ） A．30 B．25 C．45 D．15 【例10】已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式5-1】若二项式的展开式中项的系数是,则实数的值为（　　） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【变式5-2】展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若，则 . 【考点06三项展开式的指定项】 【例11】展开式中含项的系数为（    ） A．30 B． C．10 D． 【例12】的展开式中的系数为12，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】若的展开式中的系数为，则实数 ． 【变式6-2】（多选）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】设，则 ，的最小值是 ． 【考点07（二项式）系数的最值问题】 【例13】（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 【例14】已知的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式7-1】（多选）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（    ） A．展开式的常数项为 B． C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为 【变式7-2】（多选）在的展开式中，下列命题正确的是（    ） A．不含常数项 B．二项式系数之和为32 C．系数最大项是 D．各项系数之和为 【变式7-3】在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ． 【考点08二项式定理与导数】 【例15】已知，则（    ） A．2024 B． C．1 D． 【例16】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，则 .（用数字作答） 【考点09杨辉三角】 【例17】将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【例18】杨辉三角（如