2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西专用）专题十七全等三角形

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第四章 三角形 专题十七 全等三角形（解析版） 一、考点精讲 一.全等三角形 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.三角形全等的判定定理： （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； （5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 3.全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 二、线段垂直平分线与角平分线 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴． 2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 6.判定：到角两边距离相等的点在角的平分线是上。 二、真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式解答题为主，主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，在命题点下拓展其他新的考查形式，形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年八考，（2019.2017年单独考，其余均与其他知识结合考查）发现命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生思维认知能力的考查。 命题点 全等三角形的性质与判定 1． （2019山西中考）已知：如图，点在线段上，求证：． 答案：证明：，， ， 在和中，， ，． 2． （2017山西中考）已知：如图，在 ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 【答案】证明见解析． 【解析】试题分析：先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，∵AB=CD，FD=BE，∴CF=AE，在△COF和△AOE中，∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，∴△COF≌△AOE，∴∴OE=OF． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 拓展训练 3．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，. (1)求证：； (2)连接，若，求的大小. 答案：(1)见解析 (2) 解析：（1）D是等边三角形内一点，线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ，，，， ， ， . （2）D是等边三角形内一点，线段绕点A顺时针旋转，得到线段， 是等边三角形， ， ，， . . 4．在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得 （1）如图1，延长到点F，使得，连接，，若，求证：； （2）连接，交的延长线于点H，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明. （1）答案：见解析 解析：证明：在和中， ， ， ， ， ， . （2）答案：；证明见解析 解析：补全后的图形如图所示，，证明如下： 延长BC到点M，使，连接EM，AM， ，， 垂直平分BM， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， . 创新考法 5．将一块长方体蛋糕平均分成3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕胚一样多，但奶油不一样多（①和③奶油多，③奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和奶油一样多呢？如图2，首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的边，然后将矩形沿其对角线分割并拼成如图3的平行四边形，分别取边、的三等分点E、F和G、H，如图4，按、分割成3份（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），此种分法能够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否相等，请你给出判断并加以证明. 答案：此种分法能够保证奶