精品解析：河南省郑州市新郑市第一中学2024届高三上学期1月阶段测试数学试题

高三上期数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 若数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列命题中是假命题的有（ ） A. 函数和为同一函数 B. 若函数奇函数，则 C. 命题“”的否定是“” D. 函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点 10. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ） A. 有两个零点 B. C. D. 11. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为225 12. 已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为r，点P满足，则（ ） A. 当时，圆锥的体积为 B. 当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 C. 当时，从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为 D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量的夹角为，与垂直，，则__________． 14. 若直线与平行，则直线与之间的距离为______． 15. 若表示整数个位数字，，数列的前项和为，则______. 16. 为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 18. 已知是各项均为正数的数列的前项和，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 19. 如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点. （1）求证：DE//平面PBC； （2）求二面角A－BE－D的余弦值. 20. 已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点. （1）求双曲线方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标. 21. 杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图： （1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可作为“基地校”的学校个数为，求的分布列和数学期望； （2）现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优