精品解析：湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷

2021-2022学年上学期高二数学期中测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意) 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下:，则这组数据的第80百分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 3. 以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是（ ） A. (x－3)2＋(y＋1)2＝10 B. (x－3)2＋(y－1)2＝10 C. (x＋3)2＋(y－1)2＝10 D. (x＋3)2＋(y＋1)2＝10 4. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　） A B. C. D. 5. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为2，若圆锥被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为的圆锥，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD中，，E为边AB中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C D. 二、多选题(本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ） A. x-2y+6=0 B. x-y=0 C. 2x-y+1=0 D. x+y-3=0 10. 已知直线：和圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 存在使得直线与直线：平行 D. 直线被圆截得的最短弦长为 11. 已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，直线的斜率为2 D. 面积的最小值为4 12. 如图，在正方体中，，点分别为的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则平面 C. 平面截正方体所得的截面的周长为 D. 若，则四面体外接球的表面积为 三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13. 直线过点，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为零，则这样的直线方程为______. 14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是_______. 15. 已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为_________． 16. 已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形周长最小时，则三棱锥外接球的体积为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18－22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知的内角的对边分别是，满足． （1）求； （2）若是的中点，且，求的面积． 18. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，， 点为棱上的点，且. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 20. 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径圆过原点． 21. 如图1，已知是直角