2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西专用）专题十六三角形的基本概念及性质

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第四章 三角形 专题十六 三角形的有关概念及性质（解析版） 一、考点精讲 （一）三角形的基础知识 1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形． 2.三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系． 3.三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 4.三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线． 三角形三条中线的交点叫三角形的重心，重心到三角形三个顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 （3） 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 三角形三条高或者高所在的直线相交与一点，这一点叫做三角形的垂心。 （4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半． 二、真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式多样，主要考查三角形的基本性质，三角形的重要线段，在命题点下拓展其他新的考查形式，形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年八考，发现命题常常与平行线性质，圆周角定理及推论结合考查。（有关与圆的结合在圆中学习） 命题点1.三角形的基本性质的相关计算 基础小练 1．刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是( ) A.6cm的木条 B.8cm的木条 C.两根都可以 D.两根都不行 答案：B 解析：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段， 如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm， 所截成的两段线段之和大于6，所以，可以， 而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以. 故选：B. 2．已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到的度数是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：是的平分线，是的平分线， ，， 又，， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， . 故选：C. 3．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则_____. 答案：130° 解析：如图， 由等边三角形和直角三角形可得，， ， 且， ， ， 故答案为130°. 命题点2.三角形的重要线段 4. （2021年山西中考）如图，在中，点D是AB边上的一点，且，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若，且，则AB的长为____________. 答案： 解析：如图，过点D分别作BE，AC的垂线，垂足分别为点M，N.，，.，，.又，，，，，. 拓展训练 5.如图一:在Rt△ABC中,∠C=90°AD、BE分别是△ABC中∠A、∠B的平分线, AD、BE交于点F,过F点做FH⊥AD交AC于点H,易证:AH+DB=AB;  （1）.若将Rt△ABC中∠BAC、∠ABC的内角平分线改成外角平分线,即:AF、BF分别是∠BAC、∠ABC的外角平分线交于F点,FH⊥AF交直线AC于H点,如图二:请写出线段AH、BD、AB之间的数量关系,并证明。 （2）.若将Rt△ABC中∠BAC、∠ABC的内角平分线改成一个是外角平分线,即:AF是∠A的内角平分线,BE是∠B的外角平分线交于F点,FH⊥AD交AC于点H.如图三:请写出线段AH、BD、AB之间的数关系,无需证明。 答案：（1）AH=AB+BD ∵AF平分∠BAH ∴BAF=∠HAF ∵AF⊥HM ∴△HAF≌△MAF ∴AH=AM∠AHF=∠M ∵AF平分∠BAH ∴ABF=∠FBN ∵∠AHF+∠HAF=90° ∵∠DAC+∠ADB=90° ∴∠ADB=∠AHF ∴∠FDB=∠BMF ∴△DFB≌△MFB ∴DB=BM ∵AM=AB+BM ∴AH=AB+DB （2）.AH=AB+BD 3、 重难点分层练 1．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，，，，则的度数是( ) A.117° B.120° C.132° D.107°