精品解析：黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

德强高中2023-2024学年度上学期期末考试 高三学年 数学试题 命题人：徐杨 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 2 5. 已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（ ） A. 20 B. 60 C. 40 D. 80 6. 等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 如图，正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 定义域为，且满足，在 处取极值，则下列说法中正确的是 （ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在处取极小值 D. 的最大值为4 二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 数列为等差数列，为其前n项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （近似值） 1041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279 A. 在区间内 B. 是15位数 C. 若，则 D. 若是一个35位正整数，则 12. 如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 圆的方程为 C. 若圆与轴有交点，则 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知复数（其中是虚数单位），则________ 14. 中，，，则的面积为_________. 15. 在的展开式中，的系数为______. 16. 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 ，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为_____________. 四、解答题（本大题共6道小题，共70分） 17. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求的值； （2）若的面积，求b的值． 18. 已知为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19. 如图，在三棱锥中，，底面. （1）求证：平面平面； （2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值. 20. 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”． （1）求值： （2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 21. 设动圆与圆外切，与圆内切. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 22. 已知函数． （1）证明：有唯一的极值点； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德强高中2023-2024学年度上学期期末考试 高三学年 数学试题 命题人：徐杨 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8