江苏省南通市如皋市2024届高三下学期2月诊断测试数学试题

如皋市2024届高三2月诊断测试 数 学 试 题 2024.2 ( 注意事项（请考生 作答前 认真阅读以下内容）： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 试卷共4页， 共 19 小题 . 满分150分.考试用时120分钟. 命题：胡佳磊 ) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 已知，是方程的两个复根，则（ ▲ ）. A. 2 B. 4 C. 2i D. 4i 2. M是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ▲ ）. A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 3. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，则下列结论正确的是（ ▲ ）. A. B. C. D. 若，则 4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为若，，则b的值可以是（ ▲ ）. A. 2004 B. 2005 C. 2025 D. 2026 5. 己知平面向量，不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（ ▲ ）. A. 1 B. C. D. 2 6. 已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ▲ ）. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 等比数列中，首项，，则（ ▲ ）. A. B. C. D. 8. 设，，且，则（ ▲ ）. A. B. 1 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，设，当x取大于0的一组实数、、、、时、所得的y值依次为另一组实数、、、、，则（ ▲ ）. A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同 C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同 10. 点P是正方体的中心，过点P的直线l与该正方体的表面交于E，F两点，则（ ▲ ）. A. 点E，F到正方体6个表面的距离分别为，…，，则为定值． B. 线段EF在正方体6个表面的投影长度为…，，则为定值． C. 正方体8个顶点到直线l的距离分别为…，，则为定值． D. 直线l与正方体12条棱所成的夹角的…，，则为定值． 11. 定义在上的函数满足：，，且，，当时，，则（ ▲ ）. A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，则集合A满足条件：“”的元素个数为 ▲ . 13. 若曲线和曲线有三个交点，则k的取值范围是 ▲ . 14. 小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层，设第1层的“环境满意度”为1，且第k层比第层的“环境满意度”多出又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第 ▲ 层住宅.（参考公式及数据：，，，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 已知函数，其中. （1）若，求的极值 （2）是否存在实数a，使在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； 16.（本小题满分15分） 如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为O，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点P在轴上运动． （1）证明：不论P在何处，总有； （2）当P为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． 17.（本小题满分15分） 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳剪刀、石头、布比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 （1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 18.