6.4.3 第2节 余弦定理、正弦定理的应用举例（3大知识点+10大题型+分层练习）【名校生】2023-2024学年高一下数学知识讲与练（人教A版2019·必修二）

6.4.3 第2节 余弦定理、正弦定理的应用举例 知识点1：基线 2 知识点2：在测量中的专业术语与含义 2 知识点3：解三角形应用题的基本思路和步骤 3 01正、余弦定理判定三角形形状 3 02证明三角形中的恒等式或不等式 4 03求三角形中的边长或周长的最值或范围问题 5 04几何图形中的计算 6 05距离测量问题 8 06高度测量问题 9 07角度测量问题 9 08正余弦定理的其他应用 10 09求三角形面积的最值或范围 12 10正余弦定理与三角函数性质的结合应用 13 【基础练·强化巩固】 14 【拓展练·培优拔高】 20 课堂目标 关键词 1. 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 ①余弦定理 ②正弦定理 ③解三角形 知识点1：基线　 1．定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 知识点2：在测量中的专业术语与含义 1． 坡角：坡面与水平面的夹角，如图（1）中的角α. 　 图（1）　　　图（2） 图（3）　　 图（4） 图（5） 图（6） 2．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角，如图（2）所示． 3．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．如图（3）所示，点B的方位角为α. 4．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图（4）所示． 5. 铅锤平面：与水平面垂直的平面，如图（5）所示 6. 坡角与坡比：坡面与水平面所成的角叫做坡角，坡面的垂直高度与水平宽度的比叫做坡比，如图（6）所示. 知识点3：解三角形应用题的基本思路和步骤 1．解三角形应用题的基本思路 实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解． 2．解三角形应用题的步骤 （1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语． （2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出． （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答． （4）还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位，近似计算的要求等． 思考：正弦定理、余弦定理能帮助我们解决哪些类型的测量问题？ 理论上分析，由于正弦定理、余弦定理能够帮助我们求解三角形，因此凡是能够构造出三角形的测量问题都能通过正弦定理和余弦定理来解决．一般地，我们常用它们来解决距离的测量、高度的测量和角度的测量等问题． 01正、余弦定理判定三角形形状 【典例1】在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为 三角形. 【变式1-1】在中，，判断的形状. 【变式1-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 02证明三角形中的恒等式或不等式 【典例2】在中，，且，，均为整数． (1) 求的大小； (2) 设的中点为，求证：． 【变式2-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 【变式2-2】在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 03求三角形中的边长或周长的最值或范围问题 【典例3】已知锐角内角及对边，满足. (1)求的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【变式3-1】设的内角所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围是 ． 【变式3-2】如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 04几何图形中的计算 【典例4】如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC. (1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ (2)点B在什么位置时，线段的长度最大？ 【变式4-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 05距离测量问题 【典例5】如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠