6.3.1～6.3.2平面向量基本定理&平面向量的正交分解及坐标表示(3大知识点+5大题型+分层练习)【名校生】2023-2024学年高一下学期数学知识讲与练（人教A版2019·必修二）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 & 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 知识点1：平面向量的基本定理 2 知识点2：向量共线定理的推论 3 知识点3：平面向量的正交分解及坐标表示 4 01判断两个向量能否作为基底 5 02用基底表示向量 6 03平面向量基本定理的应用 6 04利用向量的基本定理求参数 7 05用坐标表示平面向量 8 【基础练·强化巩固】 8 【拓展练·培优拔高】 11 课堂目标 关键词 1. 理解平面向量基本定理及其意义； 2. 借助平面直角坐标系，掌握平面响亮的正交分解及坐标表示 ①平面向量基本定理、基底 ②正交分解、向量的坐标表示 知识点1：平面向量的基本定理 1．平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 若，不共线，把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2. 定理的证明 （1）存在性： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，是该平面内的任意向量，则可用，表示。 ①如图（1），当是这一平面内与，都不共线的向量时，如图（2），在平面内任取一点O，做= ，==。如图（3），过点C做平行于直线OB的直线，与直线OB交于点N，则＝＋。由与共线，与共线可得，存在实数，，使得=，=，所以+也就是说，与，都不共线的向量都可以表示成+的形式. ② 当是与或共线的非零向量时，由向量共线定理可知， 当与共线时，+(=0) 当与共线时，+(=0) ③当=0时，+，(=0，). 综上所述，对于平面内的任一向量，总有一对实数，，使+ （2） 唯一性：如果还可以表示成+的形式，那么+=+， 可得：（）+=0，即，， 故有且只有一对实数，，使+ 【点拨】概念理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．即：有且只有一对数使得＝λ1＋λ2 （3），是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 3. 平面向量基本定理的应用 (1)在平面内选定一组基底后，即可线性表示出平面内的任一向量，在处理多个向量的关系问题时，可选择一组基底，用基底表示每一个向量. (2)根据平面向量基本定理线性表示的唯一性知： 若，不共线，则：①+=+； ②+=，=μ=0 知识点2：向量共线定理的推论 1. 向量共线向量的推论 已知，是不共线向量，设：=s+t，其中，s、t均为常数，则A 、B、P三点共线的充要条件是s+t=1. 2. 等和线 平面内一组基底{，}及任一向量，=+μ，若点P在直线AB上(即下图中Q的位置)或者在平行于AB的直线上，则 λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线.k的取值变化如图所示。 拓展：“爪”字型： 如图，在△ABC中，D是BC上的点.如果|BD|：|CD|=m：n，那么=+，其中，，知二可求一. 特别地，如果AD是BC边上的中线，那么=+。 知识点3：平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解 （1）定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. （2）意义：在平面上，如果选取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来方便。 2. 平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 特别提示 （1） 向量坐标表示的写法：中间用等号连接，不能写（x，y） （2） 特殊向量坐标：=(1，0)、（0，1），=（0，0） （3） 单位正交基底的性质：①⊥；②·=0；③||=||=1 3. 向量坐标与点坐标的联系 若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. 4. 向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. ③特殊向量的坐标：． 01判断两个向量能否作为基底 【典例1】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 02用基底表示向量 【典例2】如图，在中，点，满