吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

高三期初考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 已知向量，满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知椭圆的上焦点为，则（ ） A. B. 5 C. D. 7 5. 设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，少选得2分，错选0分） 9. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为8 11．已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的离心率为 C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线 12．已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则数列是等比数列 D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 三、填空题（每题5分） 13. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______． 14. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______． 15. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 16. 已知椭圆为左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________． 四、解答题 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知向量，，设函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值. 19．2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手． (1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率； (2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望． 20. 设为数列的前项和，已知为等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，设，记为数列的前项和，证明：． 21. 已知正项数列是公差为2的等差数列，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 22 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极小值点，求的取值范围． ACACA BAD 9AB 10ABD 11ACD 12 AC 13 14 6 15 16 17（1） （2） 18（1） （2） 19.（1）解：设事件为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况， 所以； （2）解：依题意可得的所有可能结果为、、， 则，， ， 所以的分布列为 所以； 20（1） （2）证明见解析 （1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项； （2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式. 【小问1详解】 为数列的前项和，， 则有，所以，等比数列的公比为2， 又，所以； 【小问2详解】 证明：由（1）知，，当时，， 所以，所以， 则， 因此． 21（1）；（2） 22 （1）在上单调递减 （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$