第3板块 5 大题考法精研(一)——空间向量与空间角、距离-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块空间几何体 大题考法精研（一）一空间向量与空间角、距离 题型一直线与平面所成的角 [例1]如图，在多面体ABCDE中，DE⊥ [针对训练] 平面BCD,△ABC为正三角形， 1.(2023·百师联盟开学考)如图， B △BCD为等腰直角三角形，∠BDC 四棱柱ABCD-A1BC1D 90°，AB=2,DE=2 中，四边形A1ADD1为矩 (1)求证AE⊥BC: 形，且平面A,ADD1⊥平面 (2)若AE∥平面BCD,求直线BE与平面 ABCD.AB//CD.AB=AD=AA=?CD. ABC所成的线面角的正弦值。 听讲随笔： ∠DAB=,M,E分别为AD1,BC的中点. (1)证明：ME∥平面DCC1D1: (2)求AE与平面B,BCC1所成的角的正弦值. [思维建模] 1,用向量法破解此类线面所成角问题的关键 (1)用定理，利用平行或垂直的判定定理，明确 写出所证明的推理过程，注意推理的严谨性： (2)建系，找出（或作出）两两垂直的三条直线， 建立适当的空间直角坐标系； (3)求向量，先分别求出几何体相关点的坐标， 利用“终减起”，求出直线的方向向量，利用赋值法求 出平面的法向量等： (4)用公式，求两法向量的夹角的余弦值： (5)得结论，根据向量夹角与线面角的关系，将 向量夹角转化为所求的空间线面角. 2.用几何法破解此类线面所成角问题的关键 (1)会转化，即把线面所成角问题转化为求点面 距离d问题与斜线段长m的问题： (2)求距离，常利用等体积法、等面积法等，求d: (3)用公式，线面所成角的正弦值为4 铺45 新高考方案·专题增分方略数学 2.如图，C是以AB为直径的圆O (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线I, 上异于A,B的点，平面PAC⊥ 点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF 平面ABC,△PAC中，PA= 所成角的取值范围。 PC=AC=2,BC=4,E,F分别 是PC,PB的中点 (1)求证：BC⊥平面PAC: 题型二二面角 [例2](2023·增博二模)如图， [思维建模] △ABC是圆柱底面的内接三角形，PA 1.求二面角大小的基本方法 为圆柱的母线，其中∠ACB=受，圆柱 分别求出二面角的两个半平面所在平面的 的母线和其底面圆直径的长都为2. 找法 法向量，然后通过两个平面的法向量的夹 (1)当AB⊥PC时，证明：AC⊥PB: 向量法 角得到二面角的大小，但要注意结合实际 (2)当三棱锥PABC体积最大值时，求平面 图形判断所求角的大小、 PAC与平面PBC夹角的余弦值. 找与棱垂分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂 听讲随笔： 直的方向直且以垂足为起点的两个向量，则这两个 向量法 向量的夹角的大小就是二面角的大小 2.两个平面夹角的向量求法 设m1,g分别是平面a,3的法向量，则向量1与 2的夹角（或其补角）就是两个平面的夹角，用坐标法 解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐 、 标系： (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的 法向量n1,2: (3)计算：cos0=n·n mn2 |46) 第三板块空间几何体 [针对训练] 4.已知四棱锥P-ABCD的 3.(2023·新课标1卷)如图，在正四棱 C 底面ABCD是边长为2 柱ABCD-A1BCD1中，AB=2, D 的菱形，∠BAD=60°， AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别 D PD=6,若∠PDC= 在棱AA1,BB1,CC1,DD1上， ∠PDB,且PD与平面ABCD所成的角为45°， AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. E为AD的中点，点F在线段PA上，且PC川 (1)证明：B2C2∥A2D2: 平面BEF. (2)点P在棱BB1上，当二面角P-AzC2D2为 150时，求B2P. 求品 (2)求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值. 了47 新高考方案·专题增分方略 数学 题型三 空间距离 [例3]如图，在长方体 [针对训练] ABCD-A1BC1D1中，AB= 5.(2023·揭阳联考)如图所示的 4,AD=AA1=2,E是A1D 四棱锥P-ABCD中，底面 的中点，平面ACE与棱C,D ABCD为直角梯形，AB∥ 相交于点F. CD,AD⊥AB,DC=2AD= (1)求证：点F为C1D1的中点： 2AB=2a,PA=PD,二面角P-AD-B的大小为 (2)若点G为棱AB上一点，且D1G⊥AC,求 135°，点P到底面ABCD的距离为 点G到平面ACE的距离. (1)过点P是否存在直线1，使直线1∥平面 听讲随笔： ABCD,若存在，作出该直线，并写出作法与理 由：若不存在，请说明理由： (2)若PM=2MC,求点M到平面PAD的距离. [思维建模]…… 求点面距离的3