第3板块 2 微点优化拓展——三棱锥外接球球心和半径的探究-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

新高考方案·专题增分方略数学 微点优化拓展 一三棱锥外接球球心和半径的探究 外接球问题是培养学生直观想象和数学运算核心素养的一个非常好的载体，本类问题是高考命题的热点， 整理近几年有关球的考题，发现球的考题大多数与三棱锥结合，本课时以三棱锥的外接球为主题，对三棱推外接 球考题从寻找球心位置这一本源角度出发进行分类探究，通过例题及其层层变式，提升学生应对外接球考题的 策略和能力. 类型一 侧棱垂直底面的三棱锥外接球 由于长方体有8个顶点，且侧棱和底面垂 [思维建模]… 此种类型题目常见的变式考查的是三棱锥中有 直，因此任意选取不共面的四个点可以构造出侧 条侧棱（设长度为h)垂直于底面，但是底面不是直 棱垂直于底面的三梭锥，此时其外接球与长方体 角三角形（设其外接圆的半径为）.这种情况下，三棱 为同一个外接球，直径为长方体的体对角线，球 锥的四个顶点不完全是某个长方体的顶点，因此其外 心为体对角线的中点.常见题型是侧棱垂直于底 接球和长方体的外接球不是同一个外接球（学生很容 面，且底面是直角三角形.如图1、图2、图3所示. 易误认为还是同一个)，如图1所示，这种题型的球心 位置通常把三棱锥补成直三棱柱，此时三棱锥与补形 成的直三棱柱的外接球为同一个外接球，球心在上、 下底面的外接圆圆心连线的中点位置，如图2所示， 图1 图2 图3 可以得到外接球的半径R=√P+(合)· [例1]《九章算术》中，将四个面均为直角 三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖 臑，其中PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=3,三棱 锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则该球 的体积是 ( 图1 图2 4273 2 B.273x 4 [应用体验] 呀 n L.在三棱锥PABC中，PA⊥底面 ABC,∠BAC=60°，PA=2,AB 听讲随笔： AC=√3，若该三棱锥的顶点都在 同一个球面上，则该球的表面 积为 A号 B.8 3 C.8π D.12π 38 第三板块 空间几何体 类型二正三棱锥外接球球心的探究 正三棱锥作为一种特殊的三棱锥，其外接球 听讲随笔： 问题也是常考问题，根据正三棱锥的定义，正三 棱锥的四个顶点不可能为长方体的四个顶点， 由于球心到底面三角形的三个顶点的距离相等， 因此球心在正三棱锥的高上. [例2]已知△ABC是边长为3的等边三角 [应用体验] 形，三棱锥PABC全部顶点都在表面积为16π的 2.已知圆锥S)的母线长为2√6，侧面展开图的圆 球O的球面上，则三棱锥PABC的体积的最大 心角为2③，则该圆锥外接球的体积为 值为 ( 3 A.5 B33 [迁移发散] 2 由于底面三角形的截面为一个圆，因此此种题型 c. 常见的变式为圆锥的外接球问题，球心及其半径的求 法与正三棱锥一致 类型三有两个侧面相互垂直的三棱锥外接球 听讲随笔： 正方体中侧面和底面垂直，因此在侧面和底 面中各取一个三角形可以组成有两个面互相垂 直的三棱锥，如图1所示.此题型的一般解法是 先找两个互相垂直面的外心，然后过外心分别作 面的垂线，两条垂线的交点就是三棱锥外接球的 [应用体验] 球心，如图2所示 3.已知三棱锥ABCD中，BC⊥CD,BC=1,CD √3，AB=AD=√2，则该三棱锥的外接球的体积 为 () A专 B弩 图1 图2 C.82x [例3]已知三棱锥ABCD中，△ABC是边 3 D.4π 长为2的等边三角形，DB⊥DA且平面DAB⊥ 4.已知三棱锥DABC中，平面DAB⊥平面ABC, 平面ABC,则该三棱锥外接球的表面积为() △ABC和△DAB均为边长为2的等边三角形， A.4π B号 则该三棱锥外接球的表面积为 C.8π 课下请完成P159的微点专项练 39所以之×1×h=言41+S+5),脚 则VAmD=V,Aw十VAD十VMD十 0A2-OO+01A,即R2-(4-R)2+ -号1+s+5.解释5- 1 VD-rA(S△A+SD+S△D (22)2,解待R=3,所以外接球的体积 2 cD5-1 3V区卫.圈为四面 V-号R-36元 由△CDE△CAB,释AC-月 +SAD),所以rA=SAD 答案：36元 2 体ABCD的表面积为S4D■S△A十 类型三 故选D, S△D十S么p十S△D=1十√2.又周为 命题点四 四面体ABCD的体积VA旗D= 1 ·所以 [例3]速D如图所 示，RI△DAB的外心为 [例1门解析：知图，设 外边AB的中点O1,由于 △ABC的外接国圆心为 %-所以8-4-3-2 平而DAB⊥平面ABC 0,连接0A,图为 答案：(3-22)元 因此过(O且垂直平面 △ABC是边长为3的等 微点优化拓展 DAB的直线为CO1,等 边三角形，所以其外接國 边△ABC的外接圆闻心为O2,O在CO 丰径r-0A-号×