第6板块 9 大题考法精研(四)——极值点偏移问题-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第六板块 函数与导数 大题考法精研（四） 极值点偏移问题 已知函数f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0,若fx)=(的两根的中点刚好满足1-，即极值 2 点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数(x)在x一xo两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所 示.若1十型≠0，则极值点偏移，此时函数(x)在x=两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示 2 if(a) f(x) fx 西需名在 图(1) 图(2) 图(3) (无偏移，左右对称，二次函数) (左陡右缓，做偵点向左偏移) (左缓右陡，极值点向右偏移) 若f(x)f{x2》,则x11=2x f（x)f(x),则x1x>2x0 若fx)∫()，则1x<2x 设a6>0u6则n么>v瓜，其中 a-b 4一n被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式， a-6 方法一 对称化构造 [例1]已知函数h(x)=2xlnx,若存在 [思维建模] <x2使(1)=h(x2).证明：1x2<2 对称化构造主要用来解决与两个极值点之和，积 相关的不等式的证明问题.其解题要点如下： [关键点拨] 利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进 定函数 而确定函数的极值点x 根据题意判断0<x1< 1 1 <x<1,将原 e e 构造 根掘极值点构造对称函数F(x)=f(x)一f(2.x 切人入点 题转化为证明A(x2)>(e2x ,构造函数后 函数 x),若证1>6，则令F(x)=fx)一 求导证明即可 判断 极值点偏移的题目常用的手法就是对称构 利用导数讨论F(x)的单调性 单调性 造，其实质是消去一个变量，转化为单变量问 迁移点 比较 判断F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x) 题，再根据所构造函数的单调性可以将其转 大小 与f(2x。一x)的大小关系 化为证明不等式问题 利用f(.x)的单调性，将f(x)与f(2xo一x)的大 障碍点 对称化构造函数m(x)=h(x) 转化 小关系转化为x与2x。一x之间的关系，进而得 到所证或所求 听讲随笔： [针对训练] 1.已知函数f(x)=2alnx-x2+2(a-1)x十a.若 f(x)有两个不同的零点x1·x2,求a的取值范 围，并证明：x1十x2>2a 127 新高考方案·专题增分方略 数学 方法二 比差值换元 [例2]已知函数f(x)=lnx一ax十b(a,b∈R): [思维建模] 有两个不同的零点12，证明：x< 1 比（差）值换元就是根据已知条件首先建立极值 点之间的关系，然后利用两个极值点之比（差）作为变 [关键点拨] 量，从而实现消参、减元的目的.一般用1表示两个极 值点之比（差），继而将所求解问题转化为关于1的函 由题意转化为证明1n24<x一)2_4 -2 2 1x2 数问题， 切 +兰，不妨设1<2，令=1∈(0,1)，只需证 [针对训练] 点 :2.若方程xe一a(lnx十x)=0有两个实根 明1n1<1-2+设60=2n1-4+ ,根据 且≠，证明：e,+与>e 函数的单调性，即可作出证明 IT2 迁 进行比、差值换元时，如果条件式中含有对数式， 移 般要两式作差转化：如果条件式中含有指数 点 式，一般要转化为对数式或两式作商转化 利用题目条件构造ln24<(x一2)2 x1一2 障碍点 riT2 T9 +,然后换元 听讲随笔： 课下请完成P213的大题增分练（四） |128(2)当a≥0时，若x>0,削(r)>0,不满足 在(0，十©)有一个零点，不合题意 (片+=）米满莲指，在(0)长美接<分中运< 当<0时0)=0.f-+写 单调道或 ->- 又：a(）=-名k1)=0,3n< 即证ln4<二》-里-2+型 h)=)0<<,1<<1 2 12g 设g(x)=ae+1-x+1. ee 不特设n<,令-10,1)，附只雪证 别g'(x=ae中1-2x. 1 g 当r∈(0，十o)时，g'(x)<0,g(x)单调递 1<1 -2+ 减，{0)=ae+1,g(1)=ae2<0. '0< ①当g(0)=ae十1≤0，中a≤-1时，g(x） 设g)=l1-1-+2,则g)=号n1 e g(0)0,故f(x)在(0，十∞)上为减函 六即注n>()》 数，f(r)<f(0)=0,不满足在(0，+o)有 又：h(x1)=h(), 2-1+是 一个家点： @当g(0)-ae+1>0,即-上<u<0时， 设h)=2n1-1+},期'() 令m)=A()-()=2hr (1-1)2 故存在o∈(0,1)，使得g(r0)=0,故(x) R 40 .h()在(01)上单调递减 递减。 ,.h()>h(1)=0, 又f(r0)>f(0)=0 2 则m（(r=21mr+2+字1-lner)= g(t)在(0,1)上单调递增 周