第6板块 5 大题考法精研(一)——导数与不等式的证明-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

新高考方案·专题增分方略数学 大题考法精研（一）一导数与不等式的证明 [标杆题] 设函数f(x)=ln(a-x)一r十e. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)当a=e时，证明：fe-x)<e+是 [学规范解瓶] [悟关能环节] 第(1)问.（解题过程略，详解参见答案分册P35) 第(2)问. 证明：法一构造差函数法： 当u=e时，要证fc-)<+是，即证lnx十<c+ 2e1 ①1句造率数h(x),州用南数 构造函数h(r)=心+是一lhx-, 注解① h(,x)mn?0证明不等式 时N)=心十名士1，显然)在(（0，十o)上单洞递增， 又（号）<0，h1)>0 ②由于h'(x)的率点不易求， 注解 存在∈（1）使得)=0，脚e=++1. 故设其零点求最值 2e'ro 当x∈(0，x0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当x∈(x0,十o)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 六h)m=Ao)=+是-h看-= 2e 1+1-+1-n. 注解8 ③由于h(x)的最值h(x0)的 下证>0，令H0)=2+1-+}-la1,1e(分l 符芳不明星，所以还贵过一步 2e 拘造函数证明其大于0 射H0=六1一合显然H0在（信）上单拥递瑞 H0<品1-1-1<0H0)在（合，1）上单满通浅. H)>H)=1>0,即()>0.e-)<e+是 法二分离参数法： 当a=e时，f(x)=ln(e-x)-x十e, 要证e-)<心+无即证+1<号+品 注解④ ④通过梦项变的，分离指数式 和对教式，以刘于求最值 设g(x)=lnr+1(x>0),则g(x)=1一1n 2 挂解® ⑤内造南教g(x),希求其最 当0<x<e时，g(x)>0,当x>e时，g'(x)<0, ∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十oo)上单调递减， 大值 g)≤8e=是+1.设)=兰+品)=e卫 注解碗 则当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0, ⑥内造函数h(x),并求其最值 .h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， h(x)≥h(1)=e+2e ⑦刘用g(.x)mmx<h(x)mim证明 又+1<e+0当a=e时，fe-)e+是 挂解② 不等式 |116 第六板块 函数与导数 [内化基本解题思维 1,证明函数不等式f(x)>g(x)的常用的方法 2.求最值的几种情形 构造差函数F(x)=f(x)一g(x),求导函数F(x),判断 (1)直接求得f(x)的最值，且最值是 构造差 函数单调性，从而得函数最值，让最值与0比较大小即可 一个具体的实数： 函数法 得答案 (2)求得f(x)的最值，且最值是一个 分离 确定中间函数h(x),利用导数分别证明f(x)>h(x), 含有参数的代数式，再说明该代数式的最 函数法h(.x)>g(.x),即可证明结论 值大于0（小于0）： 利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等 (3)通过隐零点求得f(x)的最值，再说 放缩法 式成立，即可得结论 明含有隐零点的最值表达式大于0（小于0）. 逐级演进·练清悟通 演进题1] (2023·潍坊一模)已知函数f(x)=e一1lnx, g(x)=x2-x. (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x). 思维变通升华 解决本题需对原不等式f(x)≤g(x)进行变形，得 到≤- 号，进而选行同构，得到不等式< 。号，根据不等式的结构形式构造函数1)一二，利用 x一】 其单调性证明不等式 铺117 新高考方案·专题增分方略数学 [演进题2] [演进题3] 已知函数f(x)=4(x一1)-2.xnx. 已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=ae'. (1)若函数g(x)=f(.x)一m存在零点，求实 (1)求函数f(x)的单调区间： 数m的取值范围. (2)求证：当a≥1时，xf(x)≤g(x). (2)求证：当∈N时，2+n+十 4 In nn(n-1) n+1 2 思维变通升华 证明不饰式2+3+…+骨<”2少，需 4 n十1 2 思维变通升华 要利用不等式2x一hx<2,通过赋值得到导 如果作表，研究函数y=xf(x)一g(x)的单调性比 n<2,结合散缩法证明不等式 较复杂，对于参数已知或参数范围已知的不等式，可分 离参数后构造函数，再用导数来研究所构造函数的数 在证明不等式时，若直接证明比较困难，可将不等 值，进而证明不等式成立.本题也可以先化为同构形 式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式： 式，再分离导数：要证xf(x)≤g(x),即证r一nr 成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立.常用的 ae' 放缩技巧有：(1)e≥x十1：(2)e1≥x:(3)nx≤ 即证n兰<号令