第一部分 第3板块 层级2 微专题（4）大题专攻——“立体几何”大题的规范解题路径-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

|第一部分第三板块立体几何 微专题（四） 大题专攻 “立体几何”大题的规范解题路径 立体几何问题重在“建”—建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合， 立体几何解答题 平行模型 以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深.解决这类题日的 垂直模型 建模 原则是建模、建系。 平面化模型 角度计算模型 建模一将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化 模型及角度，距离等的计算模型，有时也需建立函数模型： 建 更离让算模型 空间直角坐标系 空间向量 建系一依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系， 公式处理 建系 利用空间向量求解。 局部图形建平面 平面化 直角坐标系 处理 [解题示范】 [典例]如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD 的中点 (1)证明：OA⊥CD (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角 EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积. [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①建模：证明线线垂(1)证明：因为AB=AD,O为BD的中点，所以OA⊥BD 直的模型：线⊥面→ 因为平面ABDL平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, ●此处易忽视条件“平 线⊥线， 所以OA⊥平面BCD, 面ABD∩平面BCD 因为CDC平面BCD,所以OA⊥CD.0 =BD”,造成步骤缺 (2)以O为坐标原点，OD,OA所在的直 失而失分 线分别为y轴、：轴，过点(O且垂直于 ②建系：将二面角问 BD的直线为x轴，建立如图所示的空 题转化为空间向量 间直角坐标系.② 的计算问题. 设0A=1,则000,0，B0,-1.0.C，号0小 》此处易求错点的坐 A(0,0,1),D(0,1,0). 标而导致后续向量 ③设关键量：设出 所以AB=(0,-1,-),BC= 的坐标出错，从而导 致最终结果出错 OA的长度，求出相 关点和向量的坐标 A正=专AD=(03-专)E=A正-AB=(0,专号).0 易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1).0 此处易忽视(0,0,1) 设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,:), 为底面BCD的法向 3 量，如果按照法向量 求法向量：④求平面 m·BC=0, 2x+2y=0, 则 即 的一般求法求解，会 BCD的一个法向量， m·BE=0, 21 3y+3=0. 浪费较多时间. 6求平面BCE的一 个法向量 铺了47 新高考方案·专题增分方略 数学（理） 因为二面角EBC-D的大小为45， 2 ⑥计算：根据二面角 所以cos(n,m) n·m nm ●注意二面角的平面 的大小求t的值，从而 4 2, 4+ 角与向量夹角的不 得到三棱锥ABCD 解得1=1（负值舍去）.Θ 同，否则会出现增解 的高可求其体积 由OB=OC=OD=1,得BC⊥CD,所以BC=√3， 所以三楼维ABCD的体积为×号×1X,X1- 6 [关键点拨] [应用体验] 1.利用法向量求解空间角的关键在于“四破” 如图，四面体ABCD中， 破“建系大” 构建恰当的空间立角坐标系 AD⊥CD,AD=CD,∠ADB =∠BDC,E为AC的中点. 破“求方向向量关” 首先准确求解相大点的坐标 (1)证明：平面BED⊥平面ACD: 破“求法向量关” 求出平面的法向量 (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD 破“应用公式关” 上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面 熟记求角公式，即可求出角 ABD所成的角的正弦值. 2.解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问 题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题 中的灵活运用.例如，证线线平行可以利用三角 形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关 系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线 互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理 (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于 大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题 中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判 定定理去寻找证题思路。 (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对 应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其 他的证题思路.例如，要证线面平行，可以先证面 面平行，再利用面面平行的性质：要证明线面垂 直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质. (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考 虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在 解题中的灵活应用. (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在 解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空 课下请完成：第三板块课时险收评价（五） 间向量法求解空间角的具体过程 “立体几何”大题规范增分练 |48(2)以A为坐标原点， AC方向为y柚正方 层级3~4创新应