第一部分 第3板块 层级2 微专题（2）空间向量与空间角、距离问题-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

|第一部分第三板块立体几何 微专题（二）空间向量与空间角、距离问题 命题点（一）线面角 [例1]（2023·全国甲卷)如图，在三棱柱： 口针对训练 ABCA1B1C1中，A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°，：1.如图，四棱柱ABCD-A1B,C1D1 AA1=2,A1到平面BCC1B 中，四边形A1ADD1为矩形，且 的距离为1. 平面A1ADD1⊥平面ABCD, (1)证明：A,C=AC: AB,/∥CD.AB=AD=AA=号CD.∠DAB- (2)已知AA与BB1的距 离为2，求AB,与平面BCC1B1所成角的正弦值. 受M,E分别为AD1,B,C的中点. [听课记录] (1)证明：ME∥平面DCC1D1: (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值， 口方法技巧 利用空间向量求线面角的解题模型 延坐标系 根据图形与已知条件，找出具有公共点的三条 两两垂直的直线，趁立适当的空间直角坐标系 求向量 设直线AB与平面a所成的角为日，需求出平 面Q的法向量n和直线AB的方向向量AB 用公式 cos(AB,n》= AB.n B-n 利用si血0-cos(AB,n)儿，直线与平面所成角 待结论 0的范国是[0，]，即可得出直线与平面所 成的角 铺41 新高考方案·专题增分方略 数学（理） 命题点（二）二面角 [例2]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 口方法技巧 ABCD是边长为2的正方形， 利用空间向量求二面角的解题模型 △PAB为正三角形，且侧面 建坐标系 根据图形与己知条件，构建适当的空间直角 PAB⊥底面ABCD,PM=MD. 坐标系 (1)求证：BP∥平面ACM: 求法向量 准确求解相关点的坐标，并分别求出两平面 (2)求二面角MBCD的余弦值. 的法向量m,n 0 [关键点拨] 利用两向量夹角的余弦公式cs(m,n》= 用公式 m·n (1)在平面ACM内找与PB平行的线： mn来夹角的余弦彼 切入点 0 (2)建立坐标系，利用向量法求解 得结论 观察图形中二面角是锐角还是纯角，得出 结论 (1)把线面平行问题转化为钱线平行问题： 迁移点 (2)把求二面角问题转化为求两法向量的 夹角问题 口针对训练 2.(2023·新高考I卷)如图，在正四 不会建系，本题不能直接建系，雪根据侧面 棱柱ABCD-A1B1CD1中，AB D 障碍点 PAB⊥底面ABCD,作交线AB的垂线，可 得平面ABCD的垂线，从而建立坐标系 =2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2 分别在棱AA1,BB1,CC1,DD [听课记录] 上，AA2=1,BB2=DD2=2, CC2=3. (1)证明：B2C2∥A2D2: (2)点P在棱BB1上，当二面角PA2C2-D2为 150时，求B2P. |42） [第一部分第三板块立体几何 命题点（三） 距离问题 [例3]如图，圆柱的轴截面 ●针对训练 ABCD是正方形，点E在底面圆周 3.如图，在四棱维P-ABCD中， 上，AF⊥DE,F为垂足。 PA⊥底面ABCD.在底面 (1)求证：AF⊥DB: ABCD中，BC∥AD,CD⊥ (2)当直线DE与平面ABE AD,AD=CD=1,BC=2. 所成角的正切值为2时， (1)求证：AC⊥平面PAB: ①求二面角EDCB的余弦值： ②求点B到平面CDE的距离. (2)若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求 [听课记录] 点B到平面PCD的距离. 巴方法技巧 向量法求点到平面的距离的步骤 建系 钻合图形的特，点，建立恰当的空问直角坐标系 求向量 在坐标系中求出点B到平面内任一点A对应 的向量AB 求法向量 设出平面的法向量，利用向量垂直的条件 转化为求解方程组，求出法向量n AB.n 得距离 代入求点到平面的距离公式d= 课下请完成：第三板块课时验收评价（三） 计算出答策 n 综合性考法针对练一空间向量与空间角、距离问题 了43取AD的中点E,选接CE,ME,延长B,M.设AB与平面BCCB1所成角为8， 设二面角MBCD的大小为0. BA,CE交于点F, 则m-smAB1-1nA_E 所以cos8= nAB 13 册=县所以二面房 ,A出与平面℃B所成角的正孩值 MBCD的夫肩的余弦值为受。 针对训练 [针对调练] 2,解：(1)证明：次点C为 坐标原点，CD,CB,CC 1.解：(1)证明：分别取AD和BC的中点H, P,连接MH,HP,PE,则MH∥DD,MH 所在直线分别为了轴，3 袖，：轴+建主如图所 5aew=号X1×=,Same= -zDD,PE∥CC.PE-CG,所以 的空间真角坐标原，剥 B2(0,2,2).C2(0.0,3) X2×1=1,,棱台AME BB1C的体积V MH∥PE,MH=PE, 所以国边形MHPE为平行四边形， A2(2