第一部分 第6板块 层级2 微专题（6）导数与函数的零点问题-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第一部分第六板块 函数与导数 微专题（六） 导数与函数的零点问题 命题点（一）探求函数零点的个数 [例1]已知函数f(.x)=xe一x一1. D方法技巧 (1)求函数f(x)在区间[一1,1]上的最值： 求解函数零点（方程根）的个数问题的步骤 (2)讨论方程f(x)=lnx十m-2实根个数. 将问题转化为函数的零点问题，进而转化 [关键点拨] 第一步 为函数的图象与x轴（或直线y=k)在该 切人点求导，根据函致的单调性求最值 区间上的交点问题 隐藏点 换元，令t=xe,构造函数h(t)=1一lnt十 利用导数研究该函数在该区间上的单调 1(1>0) 第二步 性、极值（最值）、端，点值等性质，进而画出 再根据导函数求出单调性，最值，结合图象 其图象 迁移点 求解 第三步结合图象求解 [听课记录] D针对训练 1.已知函数f(x)=ln(2.x+1)+2ar-4ae+4, 且a>0. (1)当a=1时，求函数f(x)的最大值： (2)讨论函数f(x)的零点个数. 铺109 新高考方案·专题增分方略数学（理） 命题点（二）由函数零点的个数求参数 [例2](2022·全四乙卷)已知函数f(x)= D方法技巧 ln(1+x)十a.xe 已知函数零点个数求参数范围的策略 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0) (1)根据区间上零，点的个数情况估计出函数图象的 处的切线方程： 大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而 (2)若f(x)在区间（一1,0），(0，十∞)各恰有 求出参数满足的条件， (2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依 一个零点，求a的取值范围。 据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需 [关键点拨] 要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需 切人点先算出切点，再求导算出斜率 要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解. 隐藏点 求导，对a分类讨论 D针对训练 迁移点 对x分（一1,0），(0，十○)两部分研究 2.已知函数f(x)=ln(x+1)-x+1. 本题的关键是对：的范围进行合理分类， (1)求函数f(x)的单调区间： 反思点 否定和肯定并用，否定只雪要说明一边不 (2)设函数g(.x)=ae-x十lna,若函数F(x) 满足即可，肯定要两方面都说明 f(x)一g(x)有两个零点，求实数a的取值范围. [听课记录] ! 课下请完成：第六板块课时验收评价（七） 综合性考法针对练一导数与函数的零点问题 |110)一n十西=华一h+程，脚 当x∈[-1,1]时，g(x)-(x+2)e>0, 2 了(x)在[一1,1门上单调递增 设g(n》=ln(2十1)+2ao2n+ h4十n-n1=h5+4-n. x-0时，(.x)=0, 国为函数y一。十x在上单调递增，所以 ,当x<0时，f(x)<0,(x)单调递减 2a+4∈(0) -lhr=-nx成主. 当x>0时，f了(x)>0,f(x)单调递增 客易判定g(ro)是关于X0的增函数， 构缝品数4(x)=x一nr,g(x)=h(x) 故岳数f(x)在[一1,0)上单明遂减，在 所以g(10)<g(0)=2-2a<0, 所以函数/(r》的最大值为f(x0)<0,即当 1-2In. ()= [0,1门上单调递增，又（一1）= ,f(1) a>1时，品数f(x)无零点 则=1+片是=“少≥0， =e-2,f（0)=一1，且星然e-2>一- 综上，当0<<1时，击数f(x)有两个零 2 点1当a=1时，函数f(r)有一个求点1当4 ,西数f(x)在区间[一1,1]上的最小值为 >1时，函数f(x)无本点， 所以马数g《x)在(0，十o》上单调递增， 一1，最大值为e一2. 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0,即当x>1 命题点（二） (2)f(r)=1nx十m-2即为r--1= 时：h(>后（子）人所以6()=()> [例2]解：(1)当a=1时，f(x)=1n(1十x) lnr十m一2，得xe一x-lnr+1=m, ()又)-1-上，所以 聊xc一ln(r·e3)十1=m,令t=xe,易知 +ef)=市+e+r·e· y=re在(0，十oo)上单调递增，故t>0, (-1),(0)=1+1=2,f(0)-0. hr在(0,1)上单润地减，所以0<< 1 构造函数h(t)=t-1nt+1(t>0》. .所求初线方程为y一0=2·(x0),即y-2x '()=1-1=1 (2)f(r)=ln(1十r)+a.r·e=ln(r十 <1.即x1x2<1 故h()在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上 1)+g, [针对训练 单调递增.∴.(r)mm=h(1)=2. ∴.①当a≥0时，若x>0,群ln(r十1)>0. 2.解：(1)西数f(r)=nx一a