第一部分 第6板块 层级2 微专题（4）导数与不等式恒（能）成立问题-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

新高考方案·专题增分方略数学（理） 微专题（四）导数与不等式恒（能）成立问题 命题点（一）分类讨论解决不等式恒成立问题 [例1]已知函数f(x)=er+ax2-x. D方法技巧 (1)当a=1时.讨论f(x)的单调性； 不等式恒成立问题的解题关键点 (2)当x≥0时，f代x)≥2+1，求a的取值范围， 会构造 通过构造函数，把复杂的函数转化为简单的函 数去考虑，所构造的新函数的性质便于研究 [关键点拨] 会求值 会利用导数、基本不等式等，求函数的最值 (1)构造函数m(x),判断广(x)的单调性， 借用函数的导数，判断西数的单羽性，活用图 进而判断f(x)的单调性： 切入点 会思形 象，可快速得出参数所满足的方程（不等式）， (2)构造函数，把不等式的恒成立问题转化 从而求出参数的值（范国） 为函数的最值问题 不能把导函数正确的分解因式，分类讨论 针对训练 障碍点 、 的标准不可解 1.已知函数f(x)=lnx-a.xa∈R. (1)求函数f(x)的单调区间： [听课记录] (2)若不等式f(x)十a<0在x∈(1，十)上恒 成立，求a的取值范围. |104 第一部分 第六板块函数与导数 命题点（二） 分离参数解决不等式恒成立问题 [例2]已知函数f(x)=(x+a)nx D方法技巧 分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个 a.x十a-L. 一端是参数a,另一端是变量表达式u(x)的不等式 (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间： 后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为 (2)若f.x)>alnx-2x2-2x在(1，+∞) 水平直线y=a与函数y=(x)图象的交点个数问 题来解决 上恒成立，求整数a的最大值. [关键点拨] D针对训练 (1)问直接求导判断函数f(x)的单调区间. 2.202袋=换)已知-骨十血m, (2)问看到求整效a的最大值，想到分离参 为常数)，在x=1处的切线方程为x十y一2=0. 切入点 数，然后构造函数，利用导数及函数的性 (1)求f(x)的解析式并写出定义域： 质求解 2)若Vx∈[是1小，使得对V:∈[22]上恒有 把f(r)>alnx- 22-2x转化为a< 迁移点 fx)≥-2-2at十2成立，求实数a的取值范围. 2nr+2x-1在(1，十∞)上恒成立 x-1 (1)想不到分离导数，导致对a进行分类 讨论 障碍点 (2)构造函数后，若其导函数无法直接判断 : 单调性，不要忽略零点存在定理的应用 [听课记录] 105 新高考方案·专题增分方略数学（理） 命题点（三） 等价转化法解决不等式能成立问题 [例3】已知函数fx)一nar+b在点 D方法技巧 根据不等式能成立求参数的步骤 (e,f(e))处的切线方程为y=一a.x+2e. (1)利用题设条件将问题转化为某菡数在该区间上 (1)求实数b的值： 最大（小）值满足的不等式的能成立问题： (2)若存在r∈[e,e2],满足f(o)≤ (2)用导数求该函数在区间上的最值： +e (3)构建不等式求解. 求实数a的取值范围. [关键点拨] D针对训练 (1)利用导数的几何意义及直线的，点斜式 3.已知函数f(x)=(x-1)e-ax一1. 方程求b: (1)当a>0时，证明函数f(x)在区间(0，十∞) 切入点(2)特问题转化为≥d一立在[e,e]上 上只有一个零点： 有解，构造函数，利用导数与函数单调性关 (2)若存在x∈R,使不等式f(x)<一e一1成 系求解 立，求a的取值范围， 存在西∈[e,e]满足f(r)≤+e,只需 隐藏点f（x)mx≤4 +e申可，即求a≥( 4x ,即可 障碍点不会根据需要多次构造函数 [听课记录] 课下请完成：第六板块课时验收评价（五） 综合性考法针对练一导数与不等式恒（能）成立问题 |106=1-)-1(0<≤ （x+1)e--x (2x)>号2+1价于（产-a2+ 命题点（二） 1一x 0.1),这h(r)=(1-x2)e-1(0<x≤ [例2]解：(1)若a=1,则代x)=(x十1)ha 0.1),则'(r)=(1-2r-x2)>0在(0， r+1)e≤1.设画数g)-(2- 0.1门上恒成立，所以h(x)在(0,0,1门上单调 号子-画数)的完义线为0，十四 遥增，所以h(x)>(1一02)Xe一1=0，中 +r+1)e(≥0)，期x)=-(号 得f()=lnr一r+1 g'(x>0在(0,0,1门上恒成三，所以g(x》在 (0,0.1门上单调递增，所以g(0,1)>0× -2+r+1-是2+2ar- 设6)-一+子期u)--1 e+1n(1-0)=0,即g(0,1)=r(0,1) u(0.1)>0,所以0.1c.1>-ln0.9,脚a> -[r2-(2a+3)x+4a+2]e- 113