第一部分 第6板块 层级2 微专题（3）导数小题中的综合问题-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

新高考方案·专题增分方略数学（理） 微专题（三）导数小题中的综合问题 命题点（一）函数的公切线问题 公切线定理代数表达 当y=f(x)与y=g(x)具有公切线时，设直线与y fx)切于点(，f(1),与y=g(x)切于点(x2g(x2). ①当y=f(x)与y=g(x)切于同一点，设切点为 D方法技巧 P(0),则有 (xo)=g'(xo). 确定两曲线的公切线问题，切，点是切钱的核心， (Eo)=g(xo). 解决这类问题的关键是设出切点的坐标，用好相切 ②当y=fx)与y=g(x)为平行曲线，即g(x)=fx十a) 的特征，即若两个函数的图象有相同的切线，则需根 .则有/)=f2)=n】一f)+b_b 据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函致在 r1一2 切，点处的导函数的函数值也相等，构建方程（组）加 ③公切线方程的等量关系了(x1)=g'(x2)= 以求解， f代)一)，求参数取值范围或者切点的取值范围。 x一2 D针对训练 [例1](2023·香中二模)若两曲线y= 1.已知函数y=x2的图象在点(xo·x)处的切线 lnx一1与y=a.x2存在公切线，则正实数a的取值 为l,若1也与函数y=lnx,x∈(0,1)的图象相 范围是 () 切，则xo必满足 () A(0,2e] a[2e,+∞）C(o,2e]D[2,+∞) 1 A.0<0<2 B<o<1 [听课记录] C.n D.2<xa<√3 2.若曲线y=lnx在点P(e,l)处的切线与曲线 y=ear相切，则a= 命题点（二）利用导数研究函数的性质 [例2](2023·全四乙卷)函数f(x)=x3十 [关键点拨] ax十2存在3个零点，则a的取值范围是( 切入点利用导数研究函数的单调性 A.(-∞，-2) B.(-∞，-3) 隐藏点确定f(.x)=(x十l)nx十a.x十b单调递增 C.(-4.-1) D.(-3,0) 迁移点故f(.x)的最小值f(1)=2十a≥0 [例3](2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)= [听课记录] ae一lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为( A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 [例4](2023·齐齐哈尔二模)设函数f(x)= (x十1)lnx十ax十b,若f(x)为(0，十o∞)上的单调 函数，则实数a的取值范围为 () A.(-o,-2)U(2,+∞)B.(-∞，-2]U[2.+o∞) C.(-2,+∞) D.[-2,+c∞) |102 第一部分 第六板块函数与导数 方法技巧 D针对训练 此类题型一般是通过计算函数的导函数，确定 函数的单调性，进而求得函数的极值与最值.破解此 3若函数f八)=nx+2+ar有两个极值点 类题的关键点： x1x2,且f(x1)十f(x2)≤一5，则a的取值范 (1)分析函数的单调性，结合题意，先求导函数，再确定何 时f(x)>0,何时f(x)<0,据此可得函数的单调性. 围为 () (2)确定函数的极值、最值.可以以所得的函数单调 A.[42,+o∞) B.[2v2,+o∞) 性为切入，点，在草稿纸上先画出函数的大致图象， 以便迅速确定函数的极值情况（若在某点处左增 C.(-∞，-22] D.(-∞，-42 右减，则函数有极大值：若在某，点处左减右增，则 4.(2023·全国之卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)= 函数有极小值)以及最值情况（函数图象的最高点 a+(1十a)r在(0，十oo)上单调递增，则a的取 的纵坐标为最大值，最低点的纵坐标为最小值)， 真正体现“数形结合”的灵活运用， 值范围是 命题点（三） 构造函数问题 (1)求解与导数有关的抽象不等式问题时，常用的 [听课记录] 策略是联想函数求导公式及求导法则构造一个新 函数.通过新函数的性质解决相关问题。 (2)若遇到左，右两边结构相似的方程、不等式等. 直接求解困难较大时，需用同构思想通过变形进行 合理转化， [例5]已知函数y=∫(x)的导函数为 (x),满足Hx∈R,f(x)>f(x)且f(1)=e,则 D方法技巧 不等式f(lnx)>x的解集为 利用导数解不等式或比较大小的思路 A.(e,十oo) B.(1,十∞) 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求 C.(0,e) 解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调 D.(0.1) 性，再由单调性比较大小或解不等式问题， [例6](2022·新高考I卷)设a=0.1e.1, 61 D针对训练 c=-ln0.9,则 1 5.(2022·全国甲卷)已知a= A.a<b<c B.c<b<a T'c=4sin 1 则 () C.c<a<b D.a<c<b A.c>b>a B.ba>c [关键点拨] C.a>b>c D.a>c>b 由a=0.1ea.1,b