导数恒成立含参问题专项训练-2024届高三数学二轮复习

【导数】压轴 恒成立含参问题专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值. 3．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若的最小值为1，求． 4．已知函数，（其中为自然对数的底数）、 (1)若函数的图象与轴相切，求的值； (2)设，、，都有，求实数的取值范围． 5．已知函数. (1)若是增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数. (1)若函数在上单调递减，求出实数的取值范围； (2)若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 7．已知函数，其中． (1)当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，讨论的零点个数． 8．己知函数. (1)求曲线在处的切线方程： (2)若在上是单调函数，求实数a的取值范围. 9．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若对恒成立，求实数a的取值范围． 10．已知函数． (1)若函数在上为增函数，求实数的最大值； (2)若有两个极值点，且不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）． 11．已知函数，. (1)已知在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．设函数． (1)若函数在定义域内存在减区间，求m的范围； (2)若不等式恒成立，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【导数】压轴 恒成立含参问题专项训练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由在定义域内单调递增得，再结合不等式求最小值即可； （2）先根据极值点得出导函数为0得出韦达定理，再应用参数分离，构造函数根据单调性求出最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． （2），因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的实数根， 故且， 所以， ， 又恒成立，即恒成立， ． 设，则 在上恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题应用参数分离，转化为求最值问题. 2．已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知在有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案； （2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为在恒成立，构造函数，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案； 法二：求函数的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等式即可求得答案. 【详解】（1）； 因为在不是单调函数，所以在上有变号零点； 因为恒成立，令，则在上有变号零点； 因为，所以在单调递增， 因为，当的值趋近正无限大时，趋近于正无限大，a为待定的参数， 故趋近于正无限大，故只需，即， 所以实数的取值范围是. （2）（法一）令， 因为在恒成立，所以在单调递减， 所以， 所以在恒成立，即为在恒成立， 令， 则 ， 令，则在恒成立， 所以在上单调递减； 因为； 所以有唯一零点，且 当时，，即，所以在单调递增； 当时，，即，所以在单调递减； 所以； 所以实数的最小整数值为. （法二）， 由（1）得，当时，在上单调递增， 所以成立. 当时，存在，使得 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以， 令得； 解之得. 综上，， 所以实数的最小整数值为. 【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可. 3．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若的最小值为1，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在区间上恒成立，则，即可得出答案； （2）由