内蒙古自治区赤峰第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学(理科)试题

赤峰四中2023~2024年度下学期高三开学考试(数学理科) 考生注意： 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共分，考试时间分钟。 2. 请将各题答案填写在答题卡上。 3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3. 某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，名参赛者的成绩(单位：个)分别是、、、、、、、、、，则这组数据的中位数是（ ） 4. 函数的图象大致为（ ） 5. 已知函数有极值，则（ ） 6. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） 7. 某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面中 ，，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（ ） 8. 的内角的对边分别为。已知，，，则的外接圆半径为（ ） 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ） 10. 已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ） 11. 折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动。如图，有一张直径为的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（ ） 12. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若，则 。 14. 设满足约束条件，则的最大值为 。 15. 已知单位向量，满足，则 。 16. 小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦。若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为 。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. (12分) 已知数列的前项和为，且。 （1）求 的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 18. （12分） 已知函数。 （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围。 19. (12分) 如图，在四棱锥 中，四边形是等腰梯形，，，，。 （1）证明：平面平面； （2）若，且，求二面角的正弦值。 20. （12分） 卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一。某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下： 合格品 优等品 甲生产线 乙生产线 （1）判断能否有%的把握认为产品的品质与生产线有关； （2）用频率近似概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为,求随机变量的分布列与数学期望。 附：，其中 21. （12分） 已知双曲线的离心率为，右焦点为。 （1）求双曲线的标准方程； （2）过点 的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点,