第1板块 5 大题考法精研——解三角形的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研——解三角形的综合问题 题型一　利用正、余弦定理进行边角计算 [例1]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [解]　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝， 解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 法一：在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝. 在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝. 法二：在△ABD中，由正弦定理，得＝， 所以sin B＝＝， 所以cos B＝＝. 所以tan B＝＝. (2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝，整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，得BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc＝bc＝ ＝，解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. [思维建模]　解三角形问题的解题关键 选定理 ①已知两角和一边，利用正弦定理求解． ②已知三边求三个角，利用余弦定理求解． ③已知两边和其中一边的对角，选择含有已知角的余弦定理求第三边． ④涉及几个三角形往往需要正弦定理与余弦定理联合，联立方程求解，条件中有角平分线时，往往需要利用三角形的角平分线定理，注意利用邻补角的余弦值互为相反数 巧转化 ①当条件是边的齐次式时可以利用正弦定理化边为角，然后利用三角恒等变换，结合三角形的内角和定理进行转化． ②当条件是角的正弦的齐次式，或者是角的余弦的式子时，可以将条件转化为边之间的关系，进一步转化往往需要因式分解，达到化简的目的 [针对训练] 1．(2023·遂宁模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且7sin A＝3sin C. (1)求cos B； (2)若△ABC的面积为，求b. 解：(1)因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c. 又7sin A＝3sin C，结合正弦定理＝得7a＝3c.联立得 从而cos B＝ ＝ ＝. (2)由(1)可得sin B＝ ＝ ＝.又S△ABC＝acsin B ＝××c× ＝，解得c＝7.所以b＝＝5. 题型二　与多边形有关的解三角形问题 [例2]　在四边形ABCD中，AB＝1，CD＝DA＝2，BC＝3，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 条件①：cos∠DBC＝； 条件②：∠DCB＋∠DAB＝π. [解]　(1)选①，由余弦定理得cos∠DBC＝＝＝，解得BD＝. 选②，在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝. 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD＝＝＝. 因为∠DCB＋∠DAB＝π， 所以cos∠BAD＋cos∠BCD＝0， 即＋＝0，解得BD＝. (2)选①，BD＝，由题意，得sin∠DBC＝＝.故S△BCD＝BD·CB·sin∠DBC＝××3×＝. 在△ABD中，AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，故S△ABD＝AB·AD＝×1×2＝1. 所以四边形ABCD的面积为＋1. 选②，BD＝，在△ABD中，由余弦定理得，cos∠BAD＝＝－，故∠BAD＝. 因为∠DCB＋∠DAB＝π，所以∠BCD＝. 故S△ABD＝AB·ADsin∠BAD＝×1×2×＝，S△BCD＝BC·CDsin∠BCD＝×2×3×＝. 所以四边形ABCD的面积为＋＝2. [思维建模] 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． [针对训练] 2.(2023·榆林模拟)在△ABC中，AC＝，D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2. (1)求△DAC的面积； (2)若∠ABC＝120°，求BD的长． 解：(1)在△DAC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即13＝4＋CD2＋2CD，解得CD＝(舍负)．所以S△DAC＝AD·CD·sin∠ADC＝×2××＝. (2)因为∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°. 又∠ADC＝150