第1板块 4 微点优化拓展——极化恒等式、等和线的应用（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微点优化拓展——极化恒等式、等和线的应用　　 提能点一　极化恒等式的应用 1．极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] 其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2．平行四边形模式 如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点，则·＝(||2－||2)． 3．三角形模式 如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝||2－||2. [记忆]　向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． [例1]　已知等边△ABC内接于圆O：x2＋y2＝1，且P是圆O上一点，则·(＋)的最大值为(　 ) A. B．1 C. D．2 [解析]　法一　常规解法：设BC的中点为E，连接AE，PE，并设与的夹角为θ，如图． 因为等边△ABC内接于圆O：x2＋y2＝1，所以O在AE上且OA＝2OE＝1. 所以·(＋)＝·2＝2(＋)·(＋) ＝2[2＋·(＋)＋·] ＝2[2＋·(－)－22] ＝2 ＝1－cos θ. 所以当cos θ＝－1，即点P在AE的延长线与圆的交点处时，·(＋)取得最大值，最大值为1－(－1)＝2. 法二　极化恒等式法：设D为BC的中点，M为AD的中点，易知||＝，则·(＋)＝2·＝2×[(＋)2－(－)2]＝[(2)2－(2)2]＝2(2－2)＝2. 当点P在AD的延长线与圆的交点处时，||max＝，所以·(＋)≤2×＝2. [答案]　D [思维建模] 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)． [应用体验] 1．已知平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为(　 ) A. B．－ C．－1 D. 解析：选B　由向量极化恒等式知 a·b＝ ＝≥＝－， 当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝，|b|＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值． 2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　 ) A．－2 B．－ C．－ D．－1 解析：选B　如图，取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE，由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点AE＝AD＝，则·(＋)＝·2＝2·＝2(||2－||2)＝2≥2×＝－.所以[·(＋)]min＝－. 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________． 解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝. 答案： 4．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是________． 解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点， 所以(＋)·＝2·. 由极化恒等式得·＝2－2＝2－，因此当P为OC的中点，即||＝0时，(＋)·取得最小值－. 答案：－ 5.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________. 解析：连接EG，FH，交于点O(图略)，则·＝·＝2－2＝1－2＝，·＝·＝2－2＝1－2＝，因此·＋·＝. 答案： 提能点二　等和线定理的应用 如图，对于平面内一组基底，及任意向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线A′B′上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立．我们称直线AB以及与直线AB平行的直线A′B′为等和线．等和线有如下6个性质： (1)当等和线A′B′恰为直线AB时，k＝1. (2)当等和线A′B′在点O和直线AB之间时，k∈(0,1)． (3)当直线AB在点O和等和线A′B′之间时，k∈(1，＋∞)． (4)当等和线A′B′过点O时，k＝0. (5)若两等和线关于点O对称，则它们对应的定值k互为相反数． (6)定值k与点O到等和线的距离有关，|k|＝＝. [例2]　(2023·丽水质检)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________． [