第1板块 3 小题基准考法(三)——平面向量的基本运算及应用（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题基准考法(三)——平面向量的基本运算及应用 命题点一　平面向量的线性运算 [一练而过] 1．(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　 ) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：选B　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 2．若向量＝(－5,1)，＝(2,2)，＝(m,2m＋1)，且∥ ，则m＝(　 ) A．－ B. C．－1 D．1 解析：选A　由题意得＝＋＝(－3,3)．因为∥，所以－3(2m＋1)＝3m，解得m＝－. 3．(2023·赤峰模拟)在△ABC中，G满足＋＋＝0，点M满足＝3，则(　 ) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝－＋ 解析：选B　因为G满足＋＋＝0， ∴G为△ABC的重心． ∴＝×(＋)＝(＋)． 又∵＝3， ∴＝＋＝＋ ＝＋×(＋)＝－＋ ＝＋＝＋. 4．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　 ) A. B．3 C. D. 解析：选B　因为||＝1，||＝，·＝0， 所以⊥.又因为点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，建立如图所示的坐标系， 则＝(1,0)，＝(0，)．又因为＝m＋n(m，n∈R)， 所以＝(m，n)．所以tan 30°＝＝，所以＝3. 5．在平行四边形ABCD中，＝λ，＝μ，λμ>0，且E，C，F三点共线，则λ＋μ的最小值为________． 解析：因为＝＋＝＋，又E，C，F三点共线，所以＋＝1.又λμ>0，所以λ>0， μ>0.所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即λ＝μ＝2时取等号． 答案：4 [一站补给] 知识的“盲点” (1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0. (2)若a，b为非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；a⊥b的充要条件是x1x2＋y1y2＝0，两者勿混淆 方法的“疑点” 进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则、三角形法则求解 思想的“高点” 在平面向量的运算中注意应用数形结合的思想方法，如应用平面几何知识，如三角形中位线、相似三角形的性质等可以简化运算 结论的“妙点” ＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1 命题点二　平面向量的数量积 [真题导向] 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　 ) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：选D　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0.所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 2．(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　 ) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析：选C　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)．所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 3．(2021·新课标Ⅰ卷)[多选]已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　 ) A．||＝|| B．||＝|| C.·＝· D.·＝· 解析：选AC　因为||＝＝1，||＝＝1，所以A项正确． 因为||＝，||＝＝，当α＝，β＝时，||≠||，所以B项错误． 因为＝(1,0)，＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以C项正确． 因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(β＋α＋β)≠cos α，所以D项错误．故选A、C. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝____________. 解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得