第1板块 2 小题基准考法(二)——三角恒等变换与解三角形（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题基准考法(二)——三角恒等变换与解三角形 命题点一　三角恒等变换 [真题导向] 1．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　 ) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：选C　由题意，得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0.所以tan(α－β)＝－1，故选C. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝2.又α为锐角，所以sin＞0.所以sin＝，故选D. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选B　因为所以sin αcos β＝.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝.所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝，故选B. [素养评价] 1．已知tan(α＋β)＝3，tan β＝2, 则cos 2α＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　由tan(α＋β)＝＝＝3，得tan α＝.故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝. 2．(2023·江西二模)已知sin＝，则cos＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　因为sin＝，所以sin xcos－cos xsin＝，所以(sin x－cos x)＝，即(sin 2x＋cos 2x－2sin xcos x)＝.所以sin 2x＝，则cos 2x＝±＝±.所以cos＝cos 2xcos＋sin 2xsin＝±×＋×＝. 3．已知cos2＝，则sin 2α＝________. 解析：因为cos2＝，所以sin 2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝. 答案： 4．(2023·苏州五校调研)若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan＝___________. 解析：因为sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－，α是第三象限角，所以cos α＝－＝－.所以tan＝＝＝－5. 答案：－5 [一站补给] 知识的“盲点” (1)倍角公式变形 ①降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. ②配方变形：1±sin α＝2，1＋cos α＝2cos2 ，1－cos α＝2sin2. (2)半角公式sin＝± ，cos＝± ；tan＝＝ 思维的“难点” 解决三角函数求值问题，若遇到不能直接运用公式解决的问题时，要想到角的配凑、常值代换及辅助角公式、非特殊角转化为特殊角的应用 思想的“高点” 在三角函数求值问题中，角度、名称、次数统一思想的应用是解题的突破口 命题点二　正、余弦定理 [真题导向] 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝，故选C. 2．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 解析：由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin 60°＝×2ADsin 30°＋AC×ADsin 30°，所以AD＝＝＝2. 答案：2 3．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 解析：设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图所示．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(