第6板块 10 创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维 一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：函数＋数列 1．已知等差数列{an}的首项与公差d均为正数，且lg a1，lg a3，lg a6成等差数列，则lg a1，lg a3，lg a6的公差为(　 ) A．lg d B．lg C．lg D．lg 3d 解析：选C　因为{an}是公差为d的等差数列，所以a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，因为lg a1，lg a3，lg a6成等差数列，所以2lg a3＝lg a1＋lg a6＝lg(a1a6)，所以a＝a1a6，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)，所以a1d＝4d2，又因为d>0，所以a1＝4d，则lg a3－lg a1＝lg 6d－lg 4d＝lg. ■关联点：导数＋两直线位置关系＋抛物线 2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　 ) A．x2＝3y B．x2＝12y C．x2＝9y D．x2＝6y 解析：选D　抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝，由y′＝，得抛物线C在点M处的切线斜率为，由抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得＝，即x0＝p，所以y0＝p.因为点M在线段EF上，所以＝，所以－＝－，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y. ■关联点：平面向量＋三角恒等变换＋基本不等式＋导数 3．[多选]已知O为坐标原点，点A，B(sin θ，cos θ)，C，D(8,1)，其中θ为锐角，则(　 ) A.·为定值 B．|＋|的最大值为3 C.·的最小值为9＋4 D.·的最小值为5 解析：选ACD　由θ为锐角，得sin θ，cosθ∈(0,1)，A：·＝×sin θ＋×cos θ＝2为定值，对； B：|＋|＝＝＝，所以|＋|≥3，当且仅当sin θ＝cos θ＝时等号成立，故最小值为3，错；C：·＝＋＝＋，而sin2θ，1－sin2θ∈(0,1)，所以(sin2θ＋1－sin2θ)＝＋＋9≥2＋9＝9＋4，当且仅当sin θ＝时等号成立，故·的最小值为9＋4，对；D：·＝＋，且sin θ，cos θ∈(0,1)，令f(θ)＝＋，则f′(θ)＝－＝，令f′(θ)＝0，即tan θ＝2，且θ∈，则sin θ＝，cos θ＝，当sin θ<2cos θ时，f′(θ)<0，即f(θ)单调递减；当sin θ>2cos θ时，f′(θ)>0，即f(θ)单调递增；所以f(θ)min＝5，此时sin θ＝，cos θ＝，对． ■关联点：概率＋数列＋导数＋不等式 4．现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失．设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1－p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中p∈. (1)设2T结束后，X细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)设nT(n∈N*)结束后，X细胞数量为m的概率为Pm(n)． ①求P2(n)；②证明：P3(n)<. 解：(1)2个T结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4，其中P(ξ＝1)＝p2， P(ξ＝2)＝p(1－p)＋(1－p)p2＝p－p3， P(ξ＝3)＝(1－p)×C×p×(1－p)＝2p(1－p)2，P(ξ＝4)＝(1－p)3， 所以ξ分布列为 ξ 1 2 3 4 P p2 p－p3 2p(1－p)2 (1－p)3 E(ξ)＝1×p2＋2×(p－p3)＋3×2p(1－p)2＋4×(1－p)3＝p2－4p＋4. (2)①P2(n)表示分裂nT结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X细胞．不妨设在第kT时分裂为2个X细胞，之后一直有2个X细胞， 此事件概率P2，k＝pk－1×(1－p)×(p2)n－k＝(1－p)×p2n－1－k， 所以P2(n)＝P2,1＋P2,2＋…＋P2，n＝ (1－p)·p2n－1－k＝(1－p)p2np－1－k＝pn－1·. ②证明：P3(n)代表分裂nT后有3个细胞的概率，设细胞X在kT后分裂为2个新的X细胞，这两个X细胞在剩下的(n－k)T中，其中一个分裂为2个X细胞，一个保持一直分裂为1个X细胞，此事件的概率 P3，k＝pk－1·(1－p)·Cpn－k·P2(n－k)＝pk－1·(1－p)·2·pn－k·pn－k－1·(1－pn－k)， 得P3，k＝2p2n－2·(1－p)·p－k－2p3n－2·(1－p)·p