第6板块 7 大题考法精研(二)——导数与不等式的恒(能)成立问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二)——导数与不等式的恒(能)成立问题 [标杆题] 已知函数f(x)＝xln x－(a＋1)x2－x. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[e－1，e]都有f(x)≥－1，求实数a的取值范围．　　 [内化基本解题思维] 由不等式恒成立求参数的取值范围常用的3种方法 ①分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． ②讨论分析法：根据参数的取值情况分类讨论． ③数形结合法：将不等式转化为两个函数，通过两函数的图象求解． [提醒]不等式有解的问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 逐级演进·练清悟通 [演进题1] (2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x＋ln a(a>0)． (1)当a＝1时，求f(x)的最大值； (2)若x∈[1，＋∞)，f(x)≤0，求a的取值范围． [规范解答]　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x，f′(x)＝－2x＋1＝－. 当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝0. (2)由f(x)＝ln x－ax2＋x＋ln a(a>0)，得f′(x)＝－2ax＋1(a>0)， 易知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减． ①由(1)可知，当a＝1时，f(x)≤0，符合题意． ②当0<a<1时，f′(1)＝2(1－a)>0，f′＝a－1<0， 所以存在x1∈时，使得f′(x1)＝0， 故当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)>f＝ln－a·2＋＋ln a＝0，不符题意，舍去． ③当a>1时，f′(1)＝2(1－a)<0，f′＝a－1>0， 所以存在x2∈，使得f′(x2)＝0， 故当x∈[1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(x)≤f(1)＝ln a－a＋1. 令g(a)＝ln a－a＋1(a>1)，则g′(a)＝－1＝<0， 故g(a)在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(a)<g(1)＝0，故f(x)<0，符合题意． 综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)． 思维变通升华 把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是最基本的方法，一般要涉及分类讨论，其关键是确定分类讨论的标准，如本题，首先注意到a＝1符合题意，然后分0<a<1与a>1讨论． [演进题2] 已知函数f(x)＝－－ln x(a∈R)． (1)若a＝1，求f(x)的单调区间； (2)若对x>1，f(x)≤1－x－恒成立，求a的取值范围． [规范解答]　(1)由题知当a＝1时，f(x)＝－－ln x，x∈(0，＋∞)， ∴f′(x)＝＋－＝. ∵x>0，∴ex－1>0. ∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)由题f(x)≤1－x－(x>1)，即－－ln x≤1－x－(x>1)， ∵ex>0， ∴原不等式可化为a≤(x>1)． 令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝(x>1)． 令φ(x)＝x－ln x－2(x>1)， 则φ′(x)＝>0(x>1)． ∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∵φ(e)＝e－3<0，φ(e2)＝e2－4>0， ∴φ(x)在(e，e2)内存在唯一x0，使得φ(x0)＝0，即ln x0＝x0－2. ∴当x∈(1，x0)时，φ(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增． 故g(x)min＝g(x0)＝. ∵ln x0＝x0－2， ∴x0＝ex0－2，且ln x0－x0＝－2. ∴g(x0)＝＝－＝－. 故g(x)min＝g(x0)＝－. ∴a≤－， 即实数a的取值范围为. 思维变通升华 对于恒成立问题，分离参数法的关键点 (1)分离参数时，注意不等式的方向是否改变． (2)分离参数后，需构造新函数．通过借助导函数，求出新构造函数的最大(小) 值，往往涉及到二次求导．如本题先确定函数f(x)的定义域，求f(x)的导数f′(x)，再化简所给不等式→分离参数→形成新的不等式，构造新的函数g(x)，求g(x)的单调区间，然后求g(x)的最小值g(x)min，最后得到a≤g(x)min. [演进题3] (2023·淮南一模)已知函数f(x)＝. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)已知λ>0，若存在x∈(1，＋∞)时，不等式λx2－λx≥(eλ