第6板块 5 大题考法精研(一)——导数与不等式的证明（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(一)——导数与不等式的证明 [标杆题] 设函数f(x)＝ln(a－x)－x＋e. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a＝e时，证明：f(e－x)<ex＋.　　 [内化基本解题思维] 1．证明函数不等式f(x)>g(x)的常用的方法 构造差函数法 构造差函数F(x)＝f(x)－g(x)，求导函数F′(x)，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与0比较大小即可得答案 分离函数法 确定中间函数h(x)，利用导数分别证明f(x)>h(x)，h(x)>g(x)，即可证明结论 放缩法 利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论 2．求最值的几种情形 (1)直接求得f(x)的最值，且最值是一个具体的实数； (2)求得f(x)的最值，且最值是一个含有参数的代数式，再说明该代数式的最值大于0(小于0)； (3)通过隐零点求得f(x)的最值，再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0)． 逐级演进·练清悟通 [演进题1] (2023·潍坊一模)已知函数f(x)＝ex－1ln x，g(x)＝x2－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x)． [规范解答]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ex－1ln x＋＝ex－1. 记h(x)＝ln x＋，则h′(x)＝－＝， 所以当0<x<1时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减， 当x>1时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(1)＝1. 所以f′(x)＝ex－1>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：原不等式为ex－1ln x≤x2－x＝x(x－1)，即≤， 即证≤在x∈(0,2)上恒成立， 设l(x)＝，则l′(x)＝＝. 所以当x<1时，l′(x)>0，l(x)单调递增；当x>1时，l′(x)<0，l(x)单调递减， 所以l(x)≤l(1)＝. 令t(x)＝ln x－x＋1，t′(x)＝－1＝， 当0<x<1时，t′(x)>0，t(x)单调递增；当x>1时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 所以t(x)max＝t(1)＝0.所以ln x≤x－1， 且在x∈(0,2)上有所以可得到l(ln x)≤l(x－1)，即≤. 所以当x∈(0,2)时，有f(x)≤g(x)成立． 思维变通升华 解决本题需对原不等式f(x)≤g(x)进行了变形，得到≤，进而进行同构，得到不等式≤，根据不等式的结构形式构造函数l(x)＝，利用其单调性证明不等式． [演进题2] 已知函数f(x)＝4(x－1)－2xln x. (1)若函数g(x)＝f(x)－m存在零点，求实数m的取值范围． (2)求证：当n∈N*时，＋＋…＋<.　　 [规范解答]　(1)函数g(x)＝f(x)－m存在零点，即函数f(x)的图象与直线y＝m有交点． 由题意得函数f(x)＝4(x－1)－2xln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4－2(1＋ln x)＝－2ln x＋2.令－2ln x＋2＝0，解得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减． 所以f(x)的最大值为f(e)＝4(e－1)－2eln e＝2e－4，且f(e2)＝－4<0. 即当x→＋∞时，f(x)→－∞， 故m≤2e－4. 所以实数m的取值范围是(－∞，2e－4]． (2)证明：由于f(1)＝0，由(1)知f(x)在(0，e)上单调递增， 故当0<x≤1时，f(x)≤f(1)＝0，即f(x)＝4x－4－2xln x≤0，得2x－xln x≤2. 令x＝(n∈N*)，则－ln≤2， 所以＋ln n≤2，所以ln n≤n2－1， 所以≤n－1， 当且仅当n＝1时等号成立． 因为n∈N*，所以当n≥2时，＋＋…＋<1＋2＋3＋…＋(n－1)＝. 思维变通升华 证明不等式＋＋…＋<，需要利用不等式2x－xln x≤2，通过赋值得到－ln≤2，结合放缩法证明不等式． 在证明不等式时，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立．常用的放缩技巧有： (1)ex≥x＋1；(2)ex－1≥x；(3)ln x≤x－1； (4)ln(x＋1)≤x；(5)x≥sin x(x≥0)等． [演进题3] 已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝aex. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当a≥时，xf(x)≤g(x)． [规范解答]　(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝. 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1