第6板块 3 小题压轴考法(二)——导数的简单应用（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法(二)——导数的简单应用 命题点一　导数的几何意义 [典例导析] 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(2023·潍坊三模)若P为函数f(x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f(x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　 ) A. B. C. D.∪ [解析]　设P点坐标为(x0，y0)，由f(x)＝ex－x，x∈R，得f′(x)＝ex－，则以P为切点的切线的斜率为ex0－>－. 令切线的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－，所以θ∈∪. [答案]　D [例2]　(2023·襄城高中校联考三模)已知函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，则与曲线y＝f(x)和y＝x2＋均相切的直线l有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 [解析]　由函数f(x)＝x3－x＋a的图象关于原点对称，得f(－x)＝－f(x)，即(－x)3－(－x)＋a＝－(x3－x＋a)，解得a＝0，所以f(x)＝x3－x.因为f′(x)＝3x2－1，所以y＝f(x)在点(x1，x－x1)处的切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，整理得y＝(3x－1)x－2x.设g(x)＝x2＋，直线l与g(x)的图象相切于点，因为g′(x)＝2x，所以切线方程为y－＝2x2(x－x2)，整理得y＝2x2x－x＋，则整理2－2x－＝x－2x－x＝(9x－8x1－6)＝0.当9x－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6>0，方程有两个非零实数根，x1＝0也满足方程，故x1有3个解．所以方程组有3组解，故满足题中条件的直线l有3条． [答案]　C [思维建模] (1)求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． (2)利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． [针对训练] 1．(2023·北京东城一模)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　 ) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝ex 解析：选A　由函数y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)． 把原点(0,0)代入方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x. 2．若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　 ) A．(0,1) B. C. D. 解析：选D　由题意，y＝x2在点(m，m2)的切线斜率为2m， y＝(a>0)在点的切线斜率为en. 如果两个曲线存在公共切线，那么2m＝en. 又由斜率公式，得2m＝， 可得m＝2n－2，则4n－4＝en有解， 所以y＝4x－4与y＝ex的图象有公共点即可． 当直线y＝4x－4与曲线y＝ex相切时，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，可得t＝4，s＝2，即有切点(2,4)，a＝，故当曲线C1，C2存在公切线时，a≥. 命题点二　利用导数研究函数的单调性 [典例导析] [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(　 ) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 [解析]　依题意，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)恒成立，显然a＞0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1,2)，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0.所以g(x)在(1,2)单调递增，g(x)＞g(1)＝e.所以≤e，即a≥＝e－1，故选C. [答案]　C [例4]　(2022·新课标Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　 ) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b [关键点拨] 切入点 由题眼“a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9”，发现它们的共同点，构造函数y＝xex(0<x≤0.1)，y＝(0<x≤0.1)，y＝－ln(1－x)(0<x≤0.1)，然后利用函数单调性及初等函数的单调性比较大小 障碍点 将三个数值写成与同一个数0.1有关的形式，从而得到更具有一般形式的解析式 [解析]　要比较xex与在x∈(0,0.1]上的大小，只需要比较ex与在x∈(0,0.1]上的大小．设f(x)＝(1－x)ex(0<x≤0.1)，则f′(x)＝