第5板块 7 大题考法精研(四)——定值问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(四)——定值问题 定值问题，其本质为求值，求值过程中含有参数，利用等量代换、约分等，使得代数式计算结果不含参数，为一个常量．也可以赋予参数特殊值，先得到定值，再进行计算验证． [标杆题] (2023·开封模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，椭圆E的短轴长为2，点A，B是左、右顶点． (1)求椭圆E的方程； (2)点O是坐标原点，直线l经过点P(－2,2)，并且与椭圆E交于M，N，直线BM与直线OP交于点T，设直线AT，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．　　 [内化基本解题思维] 直线与圆锥曲线综合应用中的定值问题的求解，基本思路如下： (1)设出直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式； (2)利用Δ>0求得变量的取值范围，得到根与系数的关系； (3)利用根与系数的关系表示出所求量； (4)化简整理可得定值. 逐级演进·练清悟通 [演进题1] 已知E(2,2)是抛物线C：y2＝2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标； (2)已知O为原点，求证：∠MON为定值．　　 [规范解答]　(1)因为E(2,2)是抛物线C：y2＝2px上一点，所以4＝4p，即p＝1.所以抛物线方程为y2＝2x，其焦点坐标为. (2)证明：如图． 设A，B，M(－2，yM)，N(－2，yN)． 设直线l方程为x＝my＋2. 直线l方程与抛物线方程联立得消去x， 整理得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0恒成立．则y1y2＝－4，y1＋y2＝2m. 又直线EA的方程为y－2＝(x－2)，即y＝(x－2)＋2. 令x＝－2，得y＝，则M. 同理可得N. 则＝，＝. 所以·＝4＋ ＝4＋ ＝4＋＝0. 所以OM⊥ON，即∠MON＝，为定值． 思维变通升华 设出直线的方程联立抛物线的方程，表示出点M，N的坐标，由·＝0，求证∠MON为定值即可． [演进题2] (2023·武汉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1,0)，点P是C上任意一点，且|PF1|的最大值为3. (1)求C的方程； (2)设坐标原点为O，A，B两点在椭圆C上，且OA⊥OB，证明：＋为定值． [规范解答]　(1)依题意c＝1. 由|PF1|的最大值为3， 即a＋c＝3，则a＝2，b2＝3， 因此椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 由题意知，Δ>0，则 因为OA⊥OB，即·＝0， 所以x1x2＋y1y2＝0， 即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， (1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， 即(1＋k2)·＋km·＋m2＝0， 整理得7m2＝12(1＋k2)． ＋＝＝. 设h为原点到直线AB的距离，则|OA||OB|＝|AB|·h， 所以＋＝.而h＝， 所以＋＝＝＝. 当直线AB的斜率不存在时，设A(x1，y1)，则有kOA＝±1，不妨设kOA＝1，则x1＝y1， 代入椭圆方程得x＝， 所以|OA|2＝|OB|2＝， 所以＋＝. 综上所述，＋＝，即＋为定值． 思维变通升华 本题第(2)问的关键是采用设线法，设直线AB：y＝kx＋m，再将其与椭圆方程联立得到根与系数的关系式，利用OA⊥OB，从而找到k，m之间的等式，最后利用点到直线的距离公式结合k，m的等式即可证明＋为定值． [演进题3] (2023·万州三中模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，C的一条渐近线与直线l：y＝－x垂直． (1)求C的标准方程； (2)点M为C上一动点，直线MF1，MF2分别交C于不同的两点A，B(均异于点M)，且＝λ，＝μ，问：λ＋μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． [规范解答]　(1)由题意知，C的一条渐近线与直线l：y＝－x垂直，∴＝. 由|F1F2|＝4得c＝2，则 解得a＝1，b＝. 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)由双曲线的对称性不妨设M在第一象限，设M(x0，y0)，F1(－2,0)，F2(2,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 若直线MB的斜率存在，则kMB＝kMF2＝， 则直线MB的方程为y＝(x－2)． 联立消去x整理得(3x－12x0＋12－y)y2＋12y0(x0－2)y＋9y＝0. 将x－＝1代入上式整理得(15－12x0)y2＋12y0(x0－2)y＋9y＝0