第5板块 6 大题考法精研(三)——定点、定直线问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(三)——定点、定直线问题 定点、定直线问题，其本质为求直(曲)线的方程，所求方程一般含有参数，通过归类整理，运用恒成立问题的解法即可求得定点坐标．也可以先研究特殊情况得到定点，再在一般情况下求解． [标杆题] 已知曲线C上的动点P满足|PF1|－|PF2|＝2，且F1(－2，0)，F2(2,0)． (1)求C的方程； (2)若直线AB与C交于A，B两点，过A，B分别做C的切线，两切线交于点P′.在以下两个条件a b中选择一个条件，证明另外一个条件成立． a．直线AB经过定点(4,0)； b．点P′在定直线x＝上． [内化基本解题思维] 过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 逐级演进·练清悟通 [演进题1] (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2,0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [规范解答]　(1)因为点A(－2,0)在C上，所以＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2.又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，b2＝4.故椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－1 728k>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝.同理得yN＝. 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝3.所以MN的中点为定点(0,3)． 思维变通升华 解本题的3个步骤： (1)设出直线方程和交点坐标，联立方程，写出根与系数的关系； (2)证明yM＋yN为定值； (3)求出MN的中点． [演进题2] 已知抛物线L：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点M(5,0)的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，|AC|的最小值为4. (1)求抛物线L的方程； (2)若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点P(x0,0)，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由． [规范解答]　(1)设直线AC的倾斜角为α，则由抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦公式得|AC|＝，所以当α＝，即当AF⊥x轴时，|AC|取得最小值．把x＝代入y2＝2px，可得y＝±p， 故2p＝4，p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)假设x轴上存在一点P(x0,0)，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ty＋5，联立抛物线方程y2＝4x， 可得y2－4ty－20＝0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－20，直线PB的方程为y＝(x－x0)， 即y＝(x－x0)． 联立方程 可得x＝x0＋ ＝x0＋. 由y1＋y2＝4t，y1y2＝－20，y1＝y， 可得y2＝－，t＝， 即有x＝x0－5＋y2. 由假设可得－＝0，即x0＝0，此时x＝－5，可得存在定点P(0,0)，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上，定直线为x＝－5. 思维变通升华 解决此类题的关键是假设存在定点或定直线，先设方程与曲线联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式，利用Δ>0求得变量之间的关系，得到根与系数的关系，最后化简得到所求定点或定直线． [演进题3] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是C的右、上顶点，且|AB|＝，D是C上一点，△BF2D周长的最大值为8. (1)求C的方程； (2)C的弦DE过F1，直线AE，AD分别交直线x＝－4于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点． [规范解答]　(1)依题意，a2＋b2＝7，△BF2D的周长为|DB|＋|DF2|＋a＝|DB|＋2a－|DF1|＋a≤|BF1|＋3a＝4a，当且仅当B，F1，D三点共线时等号成立，故4a＝8，所以a2＝4，b2＝3，所以C的方程为＋＝1. (2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，直线DE：x＝my－1，代入＋＝1，整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0，y1＋y2＝，y1y2＝， 易知