第5板块 4 大题考法精研(一)——求值问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(一)——求值问题 圆锥曲线中的求值问题在高考中时有出现，主要考查求直线的斜率、三角形或四边形的面积、弦长、中点弦问题等，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． [标杆题] (2022·新课标Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． [内化基本解题思维]) 有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； (2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； (3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用. 逐级演进·练清悟通 [演进题1] (中点弦)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上． (1)若线段AB的中点为(1，－1)，求直线AB的方程； (2)若F恰好是△ABP的重心，且|AF|，|PF|，|BF|成等差数列，求点P的坐标．　　 [规范解答]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2. 由得＝－， 即＝－. ∴kAB＝＝－·＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝(x－1)， 即3x－4y－7＝0. (2)由椭圆方程知F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)．∵F恰好是△ABP的重心， ∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3. ∴|AF|＝ ＝ ＝＝2－. 同理可得|BF|＝2－，|PF|＝2－. 又|AF|，|PF|，|BF|成等差数列， ∴2|PF|＝|AF|＋|BF|＝4－＝4－x3. 整理得x1＋x2＝2x3.∴x1＋x2＋x3＝3x3＝3， 解得x3＝1. 将x3＝1代入椭圆方程得y＝3－x＝， 解得y3＝±. ∴P点坐标为或. 思维变通升华 求解圆锥曲线中的中点弦问题时，常采用点差法，针对不同曲线，弦中点(x0，y0)与弦所在直线斜率k的关系如下： (1)椭圆＋＝1(a>b>0)中，k＝－·； (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)中，k＝·； (3)抛物线y2＝2px(p>0)中，k＝. [演进题2] (垂直弦)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，·＝0，且△MF1F2的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且∠AMB＝，求直线l的方程．　　 [规范解答]　(1)因为·＝0，所以⊥，即∠F1MF2＝.所以S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|＝2.所以|MF1|·|MF2|＝4. 又|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c＝2，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2， 所以(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|＝8，即4a2－2×4＝8，所以a2＝4. 所以b2＝a2－c2＝2. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知|MF1|·|MF2|＝4，|MF1|＋|MF2|＝4，所以|MF1|＝|MF2|＝2，即M(0，)． 当直线l的斜率为0时，此时∠AMB≠，不合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(2＋m2)y2＋2my－2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝.因为∠AMB＝，所以MA⊥MB.所以x1x2＋(y1－)(y2－)＝0.所以(1＋m2)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋4＝0.所以－＋4＝0.所以m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，直线l过点M，不符合题意，所以直线l的方程为x－3y－＝0. 思维变通升华 垂直弦模型 利用垂直直线斜率互为负倒数，把联立直线y＝kx＋t与圆锥曲线的方程后得到的相关结论中的k替换为－，即可得与另一条直线相关的数量关系式，简化运算过程；或利用垂直向量的数量积为零，将垂直关系转化为代数等式，得到相关数量的关系或者结论． [演进题3] (焦点弦)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l1与抛物线C交于M，N两点(N在M的上方)． (1)若l1过抛物线C的焦点，且垂直于x轴时，|MN|＝2，求此时抛物线C的方程； (2)若直线l1的斜率k∈，过点M作直线l1的垂线l2交抛物线C于另外一点Q，当|MN|＝2|MQ|，且△