第5板块 3 微点优化拓展——运用二级结论快解题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微点优化拓展——运用二级结论快解题 一、椭圆中的常见结论 1．焦点三角形的面积公式 P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则椭圆中S△PF1F2＝b2·tan. 2．焦半径的数量关系式　 直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝. 3．周角定理 已知点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或短轴)端点，则kPA·kPB＝－. 4．过椭圆上一点的切线方程　 已知点P(x0，y0)为椭圆上任一点，则过点P与椭圆相切的切线方程为＋＝1. 5．椭圆的焦半径公式　 已知点P(xP，yP)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，e为椭圆的离心率，则|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝a－exP. [应用体验] 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：选D　由e＝，得＝，即a＝2c. 设△F1PF2的内切圆半径为r，则由△F1PF2的内切圆的面积为3π， 可得πr2＝3π，解得r＝(舍负)． 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2＝b2tan＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)． 结合a2＝b2＋c2，易得a＝6. 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.故选D. 2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　 ) A. B. C．－1 D．－ 解析：选B　∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形，即b＝c. ∴a2＝2b2＝2c2.∴＝， 且∠AF2O＝45°.∴kMA＝－1. 又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝. 3．已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝______，cos∠F1AB＝________. 解析：由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2. 又＋＝， 即＋＝，解得|BF2|＝.所以|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝. 由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6，|BF1|＝8－＝.在△AF1B中，由余弦定理，得 cos∠F1AB＝＝－. 答案：　－ 4.已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，则|AB|的最大值为________． 解析：连接OA，OB，如图所示． 设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝1，即x0x＋4y0y－4＝0. 又R2＝|OA|2＝，R∈(1,2)，则|AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－.又＋y＝1，所以x＝4－4y. 所以|AB|2＝4－3y－＝5－(3y＋1)－≤5－2＝1，当且仅当3y＋1＝， 即y＝，x＝时，等号成立，所以|AB|max＝1， 此时R2＝＝2，即R＝∈(1,2)， 故当R＝时，|AB|max＝1. 答案：1 5.如图，椭圆C：＋＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|PM||PN|的值为________． 解析：设P(x0，y0)，因为P在椭圆上，所以＋＝1，则y＝4. 因为|PF1||PF2|＝8，所以(a＋ex0)(a－ex0)＝8.其中e为椭圆C的离心率， 则e2＝，所以x＝，y＝4－.又|OM|＝|ON|＝， 则|PM||PN|＝(|OM|－|OP|)(|ON|＋|OP|)＝a2＋4－|OP|2＝a2＋4－x－y＝a2＋4－a2＋4＝8. 答案：8 二、双曲线中的常见结论 1．焦点三角形的面积公式　 P为双曲线上异于顶点的一点，F1，F2为左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则双曲线中S△PF1F2＝. 2．焦半径的数量关系式　 直线l过焦点F与双曲线相交于A，B两点，则＋＝. 3．双曲线的焦半径公式　 已知点P(xP，yP)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|＝|exP＋a|，|PF2|＝|exP－a|. 4．周角定理 已知过原点的直线l交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的动点，则kPA·kPB＝. [应用体验] 1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．2 B．4 C．6