第5板块 2 小题压轴考法—— 圆锥曲线的方程与性质（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法—— 圆锥曲线的方程与性质 命题点一　圆锥曲线的定义与标准方程 [典例导析] [例1]　已知双曲线Γ：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线Γ的左、右两支于A，B两点，且∠F2AB＝∠F2BA，则|BF2|＝(　 ) A.＋4 B．2＋4 C．2 D. [解析]　由双曲线Γ：－＝1，得a＝2，b＝，c＝. 因为∠F2AB＝∠F2BA，所以|F2A|＝|F2B|.作F2C⊥AB于点C，则C是AB的中点．设|F2A|＝|F2B|＝x，则由双曲线的定义|F2A|－|F1A|＝2a，|F1B|－|F2B|＝2a，可得|F1A|＝x－4，|F1B|＝x＋4，|AB|＝8. 故cos∠F1BF2＝＝.又由余弦定理得cos∠F1BF2＝＝， 所以＝，解得x＝2. [答案]　C [例2]　(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．1 B．2 C．4 D．5 [解析]　法一：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan，得|PF1|·|PF2|＝1×tan.所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B. 法二：因为·＝0，所以PF1⊥PF2.所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B. [答案]　B [思维建模] (1)在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立|PF1|＋|PF2|与|PF1||PF2|的联系． (2)求圆锥曲线的标准方程时的常见错误．双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置． [针对训练] 1．已知△ABC的顶点都在抛物线y2＝4x上，且△ABC的重心为抛物线的焦点F，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选B　由题意得p＝2，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．∵点F是△ABC的重心，∴F.∴x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝x1＋x2＋x3＋＝6. 2．已知双曲线C：－y2＝1，点F是C的左焦点，若点P为C右支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d＋|PF|的最小值为(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B　过P作PH垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H，则|PH|＝d，连接P与双曲线的另一个焦点F1，如图所示，由双曲线的定义知，d＋|PF|＝|PH|＋|PF1|＋2a. 又双曲线方程为－y2＝1，故a＝3，b＝1，c＝. 又点F1的坐标为(，0)，双曲线的渐近线为y＝x，故点F1到渐近线的距离为＝1，故|PH|＋|PF1|＋2a≥1＋6＝7. 3．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，点F2关于直线PF1的对称点为M，点F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，△PF1F2的面积为________． 解析：根据椭圆的方程可知，F1(－，0)，F2(，0)，连接PM，PN，则|PM|＋|PN|＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以当M，N，P三点共线时，|MN|的值最大，此时∠MPF1＝∠F1PF2，∠NPF2＝∠F1PF2. 又因为∠MPF1＋∠F1PF2＋∠F2PN＝180°，可得∠F1PF2＝60°. 在△F1PF2中，由余弦定理可得，(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 即8＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝16－3|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝. 故S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝××＝. 答案： 命题点二　圆锥曲线的几何性质 [典例导析] 考法1　双曲线的渐近线 [例3]　设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线x2＝4y的准线围成三角形的面积为________． [解析]　依题意|PF2|＝|F1F2|，可知△PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点D.由勾股定理可知|PF1|＝2＝4