第5板块 1 小题基准考法——直线与圆（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 解析几何 悉高考 从高考试题来看，解析几何是高考必考内容，一般是以“3小1大”的形式出现，难度中档偏上，考查内容几乎覆盖了该部分的所有知识，如直线、圆、圆锥曲线方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系.基础小题一般涉及圆的方程，直线与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的简单性质等，压轴小题一般涉及直线与圆锥曲线的位置关系及离心率问题等. 解答题一般出现在后两题的位置，作为压轴题考查.主要涉及定点、定值、最值、范围、证明问题等. 小题基准考法——直线与圆 命题点一　三角函数的概念及诱导公式 [一练而过] 1．已知a>0，b>0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为(　 ) A．1 B．3 C．8 D．9 解析：选D　因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1.即－×＝－1，即2a＋b＝ab，整理可得＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝＋1＋4＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．因此a＋2b的最小值为9. 2．若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1，l2重合，不符合题意．综上所述，“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件． 3．(2023·东北师大附中二模)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为(　 ) A．－1 B．－5 C．1 D．5 解析：选B　直线方程(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可化为λ(x＋y－3)＋(2x－y)＝0. 由得所以直线(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)过定点A(1,2)．当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，且kOA＝2.又因为直线l的斜率为k＝－＝－，解得λ＝－5. 4．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________． 解析：令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k.当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tan α＝－2；当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝＝2，整理得k2＋k－1＝0.而k>0，解得k＝；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tan θ＝tan 2α＝＝＝－，所以k的两个可能取值－2，. 答案：－2　(答案不唯一) [一站补给] 知识的“盲点” 倾斜角α与斜率k的关系：当α∈时，k∈[0，＋∞)，当α＝时，斜率k不存在，当α∈时，k∈(－∞，0) 思维的“难点” (1)设直线的方程时要注意其适用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况． (2)已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况 结论的“妙点” 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0 命题点二　圆的方程 [真题导向] 1．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　 ) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 解析：选C　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2,1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C. 2．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__________． 解析：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得 ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5