第4板块 6 创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

创新应用考法——从宽度、深度、开放度上激活思维 一、命题“宽度”上——注重横向多元拓展 ■关联点：正态分布＋二项式定理＋组合数计算 1．已知ξ服从正态分布N(2，σ2)，a∈R，当P(ξ>a)＝0.5时，关于x的二项式3的展开式的常数项为(　 ) A．1 B．4 C．6 D．12 解析：选D　因为ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ>a)＝0.5，所以a＝2， 二项式3的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(2x)3－kk＝C23－kx3－3k， 令3－3k＝0，可得k＝1， 所以二项式3的展开式的常数项为T2＝C×22＝12，故选D. ■关联点：线性相关关系＋组合＋古典概型 2．已知x，y的对应值如下表所示： x 0 2 4 6 8 y 1 m＋1 2m＋1 3m＋3 11 y与x具有较好的线性相关关系，可用经验回归方程y＝1.3x＋0.6近似刻画，则在y的取值中任取两个数均不大于9的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由表格中的数据可得＝＝4， ＝＝， 所以这组数据的样本点中心的坐标为， 又因为点(，)在经验回归直线上，所以1.3×4＋0.6＝5.8＝，解得m＝2， 所以y的取值分别为1,3,5,9,11， 在这5个数中，任取两个，取到的两个数都不大于9的概率为P＝＝.故选B. ■关联点：对数的运算＋随机变量分布列＋不等式＋信息熵 3．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ilog2pi，若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则(　 ) A．H(X)≥H(Y) B．H(X)≤H(Y) C．H(X)<H(Y) D．H(X)>H(Y) 解析：选D　依题意知，P(Y＝1)＝p1＋p2m， P(Y＝2)＝p2＋p2m－1， P(Y＝3)＝p3＋p2m－2， … P(Y＝m)＝pm＋pm＋1， ∴H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)·log2(pm＋pm＋1)]，又H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋pmlog2pm＋…＋p2mlog2p2m)，∴H(Y)－H(X)＝p1log2＋p2log2＋…＋p2mlog2，又<1，<1，…，<1，∴H(Y)－H(X)<0，∴H(X)>H(Y)．故选D. ■关联点：正弦定理＋正态分布＋不等式 4．某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角α和β(β>α)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h＝________；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差εn近似满足εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.997 3，至少要测量______次． (参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 3) 解析：在△ABC中，＝，AC＝， 在Rt△ADC中，h＝ACsin β＝. 由于P(－3σ<εn<3σ)＝0.997 3， 因此3σ＝3≤0.5， 所以n≥72，故至少要测量72次． 答案：　72 ■关联点：数列＋条件概率＋排列数 5．等比数列{an}前6项中的两项分别为1,2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则P(B)＝________. 解析：若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则公比为负数． 因为{an}前6项中的两项分别为1,2，所以1,2只能是{an}的第1,3,5项或第2,4,6项中的两项． 事件A∩B：若a3<0，则{an}的第1,3,5为负，第2,4,6项为正，共有A种可能． 事件B：1,2是{an}第1,3,5项或第2,4,6项中的两项，有2A种可能． 所以P(B)＝＝＝. 答案： 二、命题“深度”上——强化纵向高次延伸 ■延伸链：计数原理→古典概型→二项分布 1．“锦里开芳宴，兰缸艳早年．”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1, 2, 3, 4, 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　每次抽奖中，总情况数为C＝10，获奖的有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,