第4板块 5 大题考法精研(三)——概率统计的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(三)——概率统计的综合问题　　 题型一　概率统计中的决策性问题 [例1]　(2023·烟台二模)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用分层随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品. 生产线 [53,54) [54,55) [55,56) [56,57) [57,58) [58,59) [59,60] 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1 (1)完成2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？ 项目 一等品 非一等品 合计 甲 乙 合计 (2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这4个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； (3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；x0.05＝3.841. [解]　(1)由题意得列联表如下， 项目 一等品 非一等品 合计 甲 75 25 100 乙 48 32 80 合计 123 57 180 χ2＝≈4.621， 因为4.621>3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联． (2)由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为＝，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为＝. ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝×××＝， P(ξ＝1)＝C×××2＋C×××2＝， P(ξ＝2)＝2×2＋2×2＋C×××＝， P(ξ＝3)＝2×C××＋C×××2＝， P(ξ＝4)＝2×2＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (3)由已知，每个零件为三等品的频率为＝， 设余下的50个零件中的三等品个数为X， 则X～B，所以E(X)＝50×＝. 设检验费用与赔偿费用之和为Y， 若不对余下的所有零件进行检验，则Y＝10×5＋120X， E(Y)＝50＋120×E(X)＝50＋120×＝350. 若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为60×5＝300元． 因为350>300，所以应对剩下零件进行检验． [思维建模] 解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本．其基本的解题步骤： (1)准确定位，确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础； (2)建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值； (3)比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差； (4)做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策． [针对训练] 1．(2023·泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定： ①两轮测试均通过的定为一级工程师； ②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师； ③第一轮测试没通过的不予定级． 现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核，已知他们通过第一轮测试的概率分别为，，，通过第二轮测试的概率均为. (1)求经过本次考核，甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率； (2)公司为鼓励工程师参加等级考核设制两套奖励方案： 方案一：奖励定为一级工程师2 000元，奖励定为二级工程师1 500元，未定级给予鼓励奖500元； 方案二：获得一级或二级工程师均奖励2 000元，未获得任何等级的不予奖励． 采用哪套方案，公司的奖励支出会更少？ 解：(1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1