第3板块 6 大题考法精研(二)——空间中的翻折与探索性问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二)——空间中的翻折与探索性问题 题型一　空间中的翻折问题 [例1]　图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起，使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. (2)求图2中的二面角B-CG-A的大小． [关键点拨] [解]　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.由菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝. 以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz， 则A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2，0，)，＝(1,0，)，＝(2，－1,0)． 设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以可取n＝(3,6，－)． 又平面BCGE的一个法向量可取为m＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝＝ . 因此二面角B-CG-A的大小为30°. [思维建模] 在翻折背景下判断或证明线面平行或垂直关系，或计算表面积、体积、点面距、线面角等问题的关键步骤： [针对训练] 1．(2023·长春三模)如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，∠BAD＝∠ABC＝，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P. (1)证明：PC⊥BC； (2)若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 解：(1)证明：在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE， ∵△ADE是边长为2的等边三角形， ∴OE⊥AD，OD＝1，故翻折后有OP⊥AD. 又CD∥AE，则∠CDO＝∠DAE＝，CD＝AE＝2，OA＝OD，∴△AOE≌△DOC， 即∠AOE＝∠DOC＝，则OC⊥AD. 由OP∩OC＝O，OP，OC平面POC， 故AD⊥平面POC， ∵∠BAD＝∠ABC＝，则AD∥BC， ∴BC⊥平面POC，又PC平面POC， ∴BC⊥PC. (2)在平面POC内作OM⊥OC，交PC于点M，由AD⊥平面POC，OM平面POC， 所以AD⊥OM，故AD，OM，OC两两垂直． 以O为原点，OA，OC，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 由(1)得，四边形OABC为矩形， 在△POC中，OC＝OP＝，PC＝3，由余弦定理得cos∠POC＝－，故∠POC＝， 所以A(1,0,0)，D(－1,0,0)，B(1，，0)，C(0，，0)，P，所以＝，＝，＝(1，，0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则n＝(－，1，)． 设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝. 题型二　空间中的探索性问题 考法1　位置关系中的探索性问题 [例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点． (1)求证：AE⊥平面PCD； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：∵CD⊥平面PAD，AE平面PAD，∴CD⊥AE. ∵△PAD为等边三角形，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. ∵CD∩PD＝D，CD平面PCD，PD平面PCD，∴AE⊥平面PCD. (2)取AD的中点O，连接OP，OB，∵CD⊥平面PAD，CD平面ABCD，AD平面PAD， ∴平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∵O为AD的中点，△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，AD＝2OD. ∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，∴PO⊥平面ABCD. ∵AD＝2OD＝2BC，AD∥BC，CD⊥AD， ∴四边形OBCD为矩形，AD⊥OB. 如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，E，F，＝，＝. ∵CD⊥平面PAD， ∴m＝(0,1,0)可以作为平面PAD的一个法向量． 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝－，z＝，即n＝， ∴|cos〈m，n〉|＝＝. ∴平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为. (3)由(2)知，D(－1,0,0)，C(－1,2,