第3板块 5 大题考法精研(一)——空间向量与空间角、距离（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(一)——空间向量与空间角、距离 题型一　直线与平面所成的角 [例1]　如图，在多面体ABCDE中，DE⊥平面BCD，△ABC为正三角形，△BCD为等腰直角三角形，∠BDC＝90°，AB＝2，DE＝. (1)求证AE⊥BC； (2)若AE∥平面BCD，求直线BE与平面ABC所成的线面角的正弦值． [解]　(1)证明：设F为BC的中点，连接AF，EF，则由△ABC为正三角形，得AF⊥BC.由DE⊥平面BCD，且△BCD为等腰直角三角形，计算可得BE＝CE＝2，∴EF⊥BC.又EF∩AF＝F，EF，AF平面AEF，∴BC⊥平面AEF.∵AE平面AEF，∴BC⊥AE. (2)法一：由(1)可知，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，连接BH，则∠EBH就是直线BE与平面ABC所成的线面角．当AE∥平面BCD时，可得A到平面BCD的距离为.设∠AFD＝α，则AF·sin α＝，可得sin α＝，当α<90°时，cos α＝，不妨设A在底面BCD上的射影为O，则FO＝1，此时O与D重合，可得A，E两点重合，不符合题意，舍去；当α>90°时，FO＝1，此时O在DF的延长线上，由于四边形AODE为矩形，可得AE＝DO＝2，AE∥OD，可得sin∠EAH＝，可得EH＝.于是sin∠EBH＝＝. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,1，)，设A(0，a，b)，由已知得AF＝，即a2＋b2＝3.又∵AE∥平面BCD，令平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，可得·n＝0，解得b＝，a＝±1. 当a＝1时，A，E重合，∴a＝－1，此时A(0，－1，)． 不妨设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)， 则代入得令z＝1，则y＝，∴m＝(0，，1)． 由于＝(－1,1，)，不妨设直线BE与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，m〉|＝. [思维建模] 1．用向量法破解此类线面所成角问题的关键 (1)用定理，利用平行或垂直的判定定理，明确写出所证明的推理过程，注意推理的严谨性； (2)建系，找出(或作出)两两垂直的三条直线，建立适当的空间直角坐标系； (3)求向量，先分别求出几何体相关点的坐标，利用“终减起”，求出直线的方向向量，利用赋值法求出平面的法向量等； (4)用公式，求两法向量的夹角的余弦值； (5)得结论，根据向量夹角与线面角的关系，将向量夹角转化为所求的空间线面角． 2．用几何法破解此类线面所成角问题的关键 (1)会转化，即把线面所成角问题转化为求点面距离d问题与斜线段长m的问题； (2)求距离，常利用等体积法、等面积法等，求d； (3)用公式，线面所成角的正弦值为. [针对训练] 1．(2023·百师联盟开学考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A＝CD，∠DAB＝，M，E分别为AD1，B1C的中点． (1)证明：ME∥平面DCC1D1； (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值． 解：(1)证明：分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，则MH∥DD1，MH＝DD1，PE∥CC1，PE＝CC1，所以MH∥PE，MH＝PE. 所以四边形MHPE为平行四边形． 所以ME∥PH.又PH∥CD，所以ME∥CD. 因为CD平面DCC1D1，ME平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD. 因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD， 所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD. 因为AB∥CD, ∠DAB＝，所以CD⊥AD. 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，B1(1,1,1)，E，所以＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，＝. 设平面B1BCC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝1，所以n＝(1,1,0)． 所以cos〈，n〉＝＝. 所以AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值为. 2.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． 解：(1)证明：∵C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴BC⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝