第3板块 4 小题压轴考法——空间中的最值、动态、截面问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法——空间中的最值、动态、截面问题 命题点一　最值问题 [升维突破] |教材母题|　 (北师大版必修二P252例4)埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．塔高约146.6 m，底面边长约230.4 m．则这座金字塔的侧面积(精确到0.1 m2)和体积(精确到0.1 m3)分别为________． 解析：如图所示，AC为高，BC为底面的边心距，则AC＝146.6 m，BC＝115.2 m，底面周长c＝4×230.4 m. S侧面积＝c·AB＝×4×230.4×≈85 914.9(m2)，V＝S底·AC＝×230.42×146.6≈2 594 046.0(m3)． 因此，金字塔的侧面积约为85 914.9 m2，体积约为2 594 046.0 m3. 答案：85 914.9 m2　2 594 046.0 m3 [升维1]　点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1外接球球面上的任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积的最大值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由正方体棱长a与其外接球半径R的关系知，2R＝a＝2，即R＝，则四棱锥P-ABCD的高的最大值为＋1，所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值为V＝Sh＝×4×(＋1)＝. 思维升华：本题与基准题相比，将四棱锥放在球内，增加了四棱锥高的不确定条件，将体积确定问题改为四棱锥的体积最值问题，需要判断高的最大值，同时增加了球的背景，体现了几何体的多样性． [升维2]　已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为r，四棱锥的高为h，则r2＋h2＝1，r＝，正方形的边长为r＝ ，所以四棱锥的体积V＝Sh＝(1－h2)h＝(－h3＋h)．令f(h)＝－h3＋h(0<h<1)，则f′(h)＝－3h2＋1，令f′(h)＝－3h2＋1＝0，得h＝.所以f(h)在内单调递增，在内单调递减，所以当h＝时，f(h)取得最大值，所以当四棱锥的体积最大时，其高为，故选C. 思维升华：本题与基准题和升维1相比，将四棱锥放在球内，增加了四棱锥棱长和高的不确定条件，将体积确定问题改为四棱锥的体积最值问题，同时增加了球的背景，需要判断高和棱长的关系，将体积公式构造成关于高h的函数，利用导数求最值，体现了几何体的多样性和体积运算的灵活性． [登顶高考] (2022·新课标Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥的体积的取值范围是(　 ) A.　B.　C.　D．[18,27] [解析]　如图，设该球的球心为O，半径为R， 正四棱锥的底面边长为a，高为h，依题意，得36π＝πR3， 解得R＝3. 由题意及图可得 解得所以正四棱锥的体积V＝a2h＝×＝(3≤l≤3)．所以V′＝l3－＝l3(3≤l≤3)．令V′＝0，得l＝2.所以当3≤l＜2时，V′＞0；当2＜l≤3时，V′＜0，所以函数V＝(3≤l≤3)在[3,2)内单调递增，在(2，3]内单调递减．又当l＝3时，V＝；当l＝2时，V＝；当l＝3时，V＝.所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C. [答案]　C [思维建模] 立体几何中最值问题的解题策略 (1)函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值； (2)根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解； (3)将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． [针对训练] 1.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长均为2，活动弹子N在线段AB上移动(包含端点)，弹子M，O分别固定在线段EF，AC的中点处，且MO⊥平面ABCD，则当∠MNO取最大值时，多面体M-BCON的体积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　因为MO⊥平面ABCD，ON平面ABCD，所以MO⊥ON.所以△MNO为直角三角形，所以当NO最短时，∠MNO取最大值，即NO⊥AB时，∠MNO取最大值．因为M，O分别固定在线段EF，AC的中点处，所以ON＝1，MN＝2.所以cos∠MNO＝＝.因为∠MNO为锐角，所以∠MNO＝60°.所以OM＝.所以多面体M-BCON的体积为V＝×(1＋2)×1×＝. 2．(2023·潍坊模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为(　 ) A．12π B．24π C．48