第3板块 2 微点优化拓展——三棱锥外接球球心和半径的探究（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微点优化拓展——三棱锥外接球球心和半径的探究 外接球问题是培养学生直观想象和数学运算核心素养的一个非常好的载体，本类问题是高考命题的热点．整理近几年有关球的考题，发现球的考题大多数与三棱锥结合．本课时以三棱锥的外接球为主题，对三棱锥外接球考题从寻找球心位置这一本源角度出发进行分类探究，通过例题及其层层变式，提升学生应对外接球考题的策略和能力． 类型一　侧棱垂直底面的三棱锥外接球 由于长方体有8个顶点，且侧棱和底面垂直，因此任意选取不共面的四个点可以构造出侧棱垂直于底面的三棱锥，此时其外接球与长方体为同一个外接球，直径为长方体的体对角线，球心为体对角线的中点．常见题型是侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形．如图1、图2、图3所示． [例1]　《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥P-ABC为鳖臑，其中PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝3，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则该球的体积是(　 ) A. B. C. D. [解析]　如图所示，该三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形，可以将四个顶点放入正方体中，且PC为体对角线，即为外接球的直径，正方体的中心为球心． 易知2R＝PC＝3，R＝， V＝πR3＝π3＝.故选A. [答案]　A [思维建模] 此种类型题目常见的变式考查的是三棱锥中有一条侧棱(设长度为h)垂直于底面，但是底面不是直角三角形(设其外接圆的半径为r)．这种情况下，三棱锥的四个顶点不完全是某个长方体的顶点，因此其外接球和长方体的外接球不是同一个外接球(学生很容易误认为还是同一个)，如图1所示，这种题型的球心位置通常把三棱锥补成直三棱柱，此时三棱锥与补形成的直三棱柱的外接球为同一个外接球，球心在上、下底面的外接圆圆心连线的中点位置，如图2所示，可以得到外接球的半径R＝. [应用体验] 1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　 ) A. B. C．8π D．12π 解析：选C　由题意可知底面是等边三角形，因此外接圆的半径r＝×＝×＝1，所以外接球的半径R＝＝.所以球的表面积为4πR2＝8π.故选C. 类型二　正三棱锥外接球球心的探究 正三棱锥作为一种特殊的三棱锥，其外接球问题也是常考问题，根据正三棱锥的定义，正三棱锥的四个顶点不可能为长方体的四个顶点．由于球心到底面三角形的三个顶点的距离相等，因此球心在正三棱锥的高上． [例2]　已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P-ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为(　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　此题三棱锥的底面固定，要使体积最大，高必须最大，因此顶点P是三棱锥的高与球的交点，即三棱锥为正三棱锥，如图所示．由球的表面积为16π，得球的半径为2.又由底面边长为3，可得AO1＝×＝，因此OO1＝＝1，所以PO1＝3，三棱锥P－ABC的体积的最大值为××3×3×3＝. [答案]　C [应用体验] 2．已知圆锥SO1的母线长为2，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的体积为_______． 解析：如图所示，圆锥侧面展开图的圆心角为， 所以底面圆的周长为×2＝4π， 所以底面圆的半径O1A为2， SO1＝＝＝4. 设外接球的半径为R，在Rt△OO1A中， OA2＝OO12＋O1A2， 即R2＝(4－R)2＋(2)2，解得R＝3. 所以外接球的体积V＝πR3＝36π. 答案：36π [迁移发散] 由于底面三角形的截面为一个圆，因此此种题型常见的变式为圆锥的外接球问题，球心及其半径的求法与正三棱锥一致． 类型三　有两个侧面相互垂直的三棱锥外接球 正方体中侧面和底面垂直，因此在侧面和底面中各取一个三角形可以组成有两个面互相垂直的三棱锥，如图1所示．此题型的一般解法是先找两个互相垂直面的外心，然后过外心分别作面的垂线，两条垂线的交点就是三棱锥外接球的球心，如图2所示． [例3]　已知三棱锥A-BCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，DB⊥DA且平面DAB⊥平面ABC，则该三棱锥外接球的表面积为(　 ) A．4π　　　B.　　　C．8π　　　D. [解析]　如图所示，Rt△DAB的外心为斜边AB的中点O1，由于平面DAB⊥平面ABC，因此过O1且垂直平面DAB的直线为CO1.等边△ABC的外接圆圆心为O2，O2在CO1上，因此过O2作平面ABC的垂线与CO1交于点O2，即O2为球心，O2A为球的半径．所以2R＝＝＝，R＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝4π2＝. [答案]　D [应用体验] 3．已知三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，BC＝1，CD＝，AB＝A