第3板块 1 小题基准考法(一)——空间几何体的表面积及体积（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 空间几何体　 悉高考 1从近三年新高考试题来看，立体几何一般以“2小1大”或“3小1大”的情况出现，难度中等，小题有时会出现在压轴题的位置. 2小题常考点：①空间几何体的表面积、体积的计算，有时和数学文化、新情境交汇命题，特别要注意的是球的组合体问题，常作为小题的压轴题出现，难度较大.②空间点、线、面之间的位置关系的判定，或空间角的计算. 3在高考中，解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，一问是定性分析，一问是定量分析.其中定性分析以线面平行、垂直的证明为主，定量分析主要是应用空间向量求线面角、二面角. 小题基准考法(一)——空间几何体的表面积及体积 命题点一　 空间几何体的结构特征 [真题导向] 1．(2021·新课标Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　 ) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选B　由题意知圆锥的底面周长为2π.设圆锥的母线长为l，则πl＝2π，即l＝2.故选B. 2.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m. 依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am，① 易知h2＋a2＝m2.② 由①②得m＝a，所以＝＝.故选C. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　 ) A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 解析：选ABD　因为棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以A正确；因为棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以C不正确；因为正方体的体对角线长为 m，且＞1.2，设正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，以AC1为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近的距离为h m，如图，结合对称性可知，OC1＝C1A＝，C1O1＝OC1－OO1＝－0.6，则＝，即＝，解得h＝－＞0.01，所以能够被整体放入正方体内，所以D正确．故选A、B、D. [素养评价] 1．设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B　由平行六面体的定义可得底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，命题甲正确；底面是矩形的平行六面体的侧棱不一定垂直于底面，故该几何体不一定为长方体，命题乙错误；直四棱柱的底面不一定为平行四边形，故直四棱柱不一定是平行六面体，命题丙错误．正确的命题只有1个． 2．[多选]如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则(　 ) A．三棱锥的直度的最大值为1 B．直度为的三棱锥只有一种 C．四棱锥的直度的最大值为1 D．四棱锥的直度的最大值为 解析：选AD　如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥D－ABC的四个面都是直角三角形，其直度为1，A正确；图1中三棱锥E－BCD的三个面CED，CBD，BCE都是直角三角形，平面BDE为正三角形，其直度为；图2中三棱锥D－ABC的三个面ABD，CBD，ABC都是直角三角形，平面ACD为正三角形，其直度为，故直度为的三棱锥不止一种，B错误；四棱锥共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；图3中的四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，故四棱锥的直度的最大值为，D正确． 3.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2 km，山高为2 km，B是山坡SA上一点，且AB＝2 km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为________ km. 解析：由题意，得母线SA＝＝8，底面圆周长为2πr＝4π，所以展开图的圆心角α＝＝.如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，得AB＝ ＝10.由点S向AB引垂线，垂足为点H，此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值，即点H为公路的最高点，HB段即为下坡路段，则SB2＝BH·AB，即36＝10BH，解得BH＝3.6.故下坡路段长为3.6 km. 答案：3.6 4．