第2板块 4 大题考法精研(二)——数列中的最值、范围及创新问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(二)——数列中的最值、范围及创新问题 题型一　与数列有关的最值问题 [例1]　已知等比数列{an}满足a1＋a2＝20，a2＋a3＝80. (1)求{an}的通项公式； (2)令bn＝log2an，其前n项和为Sn，求的最大值． [关键点拨] 切入点 (1)设等比数列{an}的公比为q，列方程组求通项公式． (2)由bn与an的关系求bn和Sn 迁移点 化简后，构造函数，利用函数的单调性求解 障碍点 不注意目标代数式中n的取值限制，直接利用基本不等式求解，造成nN*而致误 [解]　(1)设{an}的公比为q(q≠0)，由题意得两式相除得q＝4，则a1＋4a1＝20，得a1＝4.所以{an}的通项公式为an＝4n. (2)因为bn＝log2an＝log24n＝2n， 所以bn＋1－bn＝2，b1＝2， 所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，bn＝2n. Sn＝2n＋×2＝n2＋n， 所以＝＝. 令f(x)＝x＋(x>0)， 求导易得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 而3<<4，且f(3)＝3＋＝，f(4)＝4＋＝.显然f(4)>f(3)， ∴n＋的最小值为，即的最大值为. [思维建模] 解决与数列有关的最值问题应注意的两点 (1)数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识解决数列问题是关键． (2)求解过程中注意项数n的取值范围 [针对训练] 1．已知数列{an}的前n项之积为bn，且＋＋…＋＝(n∈N*)． (1)求数列和{an}的通项公式； (2)求f(n)＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值． 解：(1)因为＋＋…＋＝　①， 所以＋＋…＋＝(n≥2)　②. ①－②得＝n(n≥2)，＝1也满足上式，所以＝n(n∈N*)　③. 所以＝n－1(n≥2)　④. 易知anbn≠0，③÷④得＝(n≥2)． 又bn＝anbn－1，所以＝(n≥2)． 所以an－1＝(n≥2)．所以an＝. (2)由(1)可知an＝， 则bn＝a1×a2×…×an＝××…×＝，所以f(n)＝bn＋bn＋1＋…＋b2n＝＋＋…＋， 则f(n＋1)＝＋＋…＋.由f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－<0，得f(n＋1)<f(n)． 所以f(n)单调递减． 所以f(n)的最大值为f(1)＝b1＋b2＝＋＝. 题型二　数列与不等式相结合 [例2]　(2023·浙江镇海中学模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足4an－2Sn＋n2－3n－4＝0，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1,2nbn＋1＝anbn，n∈N*. (1)求证：数列{an－n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求证：bn＋1>bn≥3－. [关键点拨] 切入点 (1)利用an与Sn的关系及构造法证明； (2)用作差法得bn＋1>bn→bn＋1－bn≥ →bn－b1≥＋＋…＋ →利用错位相减法证明 关键点 利用累加法及错位相减法证明不等式 障碍点 不会利用递推关系式进行适度放缩 [证明]　(1)当n＝1时，a1＝3； 当n≥2时，4an－1－2Sn－1＋(n－1)2－3(n－1)－4＝0，n∈N*. 所以4(an－an－1)－2an＋2n－4＝0(n≥2)，整理得an＝2an－1－n＋2(n≥2)． 所以an－n＝2[an－1－(n－1)]．又a1－1＝2≠0，故an－n≠0， 所以＝2，即数列{an－n}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以an－n＝2n，an＝2n＋n. (2)由题意得bn＋1＝bn，所以bn＋1与bn同号．又b1＝1>0，所以bn>0， 所以bn＋1－bn＝·bn>0，即bn＋1>bn. 所以数列{bn}为递增数列，所以bn≥b1＝1，则bn＋1－bn＝·bn≥， 所以bn－b1＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)≥＋＋…＋.令Tn＝＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋， 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－， 所以Tn＝2－. 所以bn≥b1＋Tn＝3－. 综上，bn＋1>bn≥3－. [思维建模] 数列与不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于求出数列的通项公式或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． [针对训练] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn＝(n－2)(an－1)，若Tn≥λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 解：(1)∵Sn＝n－an，∴Sn－1＝(n－1)－an－1(n≥2)， 两式作差得2an＝an－1＋1，∴2(an－1)＝an－1－1. 当n＝1时，S1＝1