第2板块 3 大题考法精研(一)——数列的运算及求和（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

大题考法精研(一)——数列的运算及求和 题型一　数列的基本运算 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，设Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. [解]　(1)因为3a2＝3a1＋a3， 所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd. 因为bn＝，所以bn＝＝， 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝. 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d＞1，所以d＝3. 所以{an}的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋， 所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d. 因为d>1，所以an>0，又因为S99－T99＝99， 由等差数列的性质，得99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1，所以a50－＝1， 即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，无解，当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.综上，d＝. [思维建模] 在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．　　 [针对训练] 1．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且bn∈N*，若a1＝b2＝2，a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3＋b4＝15. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设由{an}，{bn}的公共项构成的新数列记为{cn}，求数列{cn}的前5项之和S5. 解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，因为a1＝2，a1＋a2＋a3＝15， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. 因为b2＝2，b1＋b2＋b3＋b4＝15， 所以 则2q3＋2q2－13q＋2＝0， 所以(q－2)(2q2＋6q－1)＝0. 因为bn∈N*，所以q＝2，b1＝1. 所以bn＝2n－1. (2)设数列{an}的第m项与数列{bn}的第n项相等，则am＝bn3m－1＝2n－1， 所以m＝. 因为m，n∈N*， 所以当n＝1时，m＝N*； 当n＝2时，m＝1，则c1＝2； 当n＝3时，m＝N*； 当n＝4时，m＝3，则c2＝8； 当n＝5时，m＝N*； 当n＝6时，m＝11，则c3＝32；当n＝7时，m＝N*； 当n＝8时，m＝43，则c4＝128； 当n＝9时，m＝N*； 当n＝10时，m＝171，则c5＝512. 故{cn}的前5项之和S5＝2＋8＋32＋128＋512＝682. 题型二　数列求和 方法1　分组法 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为bn＝ 所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6. 因为S4＝32，T3＝16， 所以 整理得解得 所以{an}的通项公式为an＝2n＋3. (2)证明：由(1)知an＝2n＋3， 所以Sn＝＝n2＋4n. 当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＋＝. 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0，所以Tn＞Sn. 当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＋＝. 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝＞0，所以Tn＞Sn. 综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn. [思维建模]　使用分组法求和的数列常见类型 数列{an}的特征 求前n项和的方法 数列{an}可以看作其他两个(或更多个)数列之和，即an＝bn＋cn 分别求数列{bn}，{cn}的前n项和，相加得解 数列的奇偶项满足不同规律，即an＝ 把奇数项和偶数项看作两个数列，分别求和，相加得解，往往需要分n为奇数和偶数进行讨论 数列通项中含绝对值 先不考虑绝对值，求解数列从哪一