第2板块 2 小题压轴考法——数列的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

小题压轴考法——数列的综合问题 命题点一　构造辅助数列 [升维突破] |教材母题| (人教A版选择性必修二P41T8)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为________；前10项的和为________． 解析：设an＋1＋λ＝2(an＋λ)，则an＋1＝2an＋λ，∴λ＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)．又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1. ∴数列{an}的前10项的和为－10＝2 036. 答案：an＝2n－1　2 036 基本方略：形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推公式，可用构造法求通项公式．构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． [升维1]　已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为(　 ) A．an＝－3×2n－1 B．an＝3×2n－1 C．an＝5n＋3×2n－1 D．an＝5n－3×2n－1 解析：选D　由an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝·＋①.令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是首项为b1－1＝－1＝－，公比为的等比数列．所以bn－1＝×n－1，即bn＝1－×n－1＝1－，故an＝5n－3×2n－1. 思维升华：递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，转化为bn＋1＝kbn＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解． [升维2]　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列的前10项和S10＝(　 ) A. B. C. D．2 解析：选C　∵an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝.∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝，∴＝＝2.∴数列的前10项和S10＝2×＋2×＋…＋2×＝. 思维升华：对于递推公式形如an＋1＝(p>0，r≠0，s≠0，an≠0)的数列{an}，求其通项公式时，先对已知等式两边同时取倒数，若s≠p，则按照递推公式形如“an＋1＝qan＋f(n)(q≠0)”的数列的通项公式的探求方法构造等比数列求解；若s＝p，则直接构造等差数列，求其通项公式，从而得到原数列的通项公式． [升维3]　已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则通项公式an＝________. 解析：由an＋1＝an得(n＋2)an＋1＝nan，两边都乘以(n＋1)，得(n＋2)(n＋1)an＋1＝(n＋1)nan.由此知数列{(n＋1)nan}是常数数列．又a1＝，所以(n＋1)nan＝2×1×a1＝，所以an＝. 答案： 思维升华：非零常数数列既是公比为1的等比数列，也是公差为零的等差数列．在数列{an}中，若对任意的正整数n都有an＋1＝an，则数列{an}为常数数列，其通项公式为an＝a1.在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数数列，便能简捷地求出通项公式．如本例通过变形，两边乘以(n＋1)后成为常数数列求解． [针对训练] 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a10＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为an＋1＝，所以两边取倒数得＝＝＋1，则＋1＝2.所以数列是公比为2的等比数列，则＋1＝·2n－1＝2n.所以an＝，故a10＝＝. 2．已知数列{an}中，a1＝2,2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)·an＋1－nan＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 解析：当an＝0时，解得an＋1＝0，不满足a1＝2，所以an≠0，同理an＋1≠0.由2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0可得－＝2.当n＝1时，＝，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，＝＋2(n－1)＝2n－＝.所以an＝. 答案：an＝ 3．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，n∈N*，且a1＝1，则a5＝________. 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1可得＝.两边同除以n可得＝，故数列为常数列，所以＝＝，所以＝，解得a5＝15. 答案：15 命题点二　数列的奇偶项问题 [典例导析] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝4，an＋an＋1＝4n＋2(n∈N*)，则使得Sn>2 023成立的n的最小值为(　 ) A．32 B．33 C．44 D．45 (2)已知数列{an}满足首项