第2板块 1 小题基准考法——等差数列、等比数列（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第二板块 数　列　 悉高考　　数列作为一种特殊函数，除考查函数三要素的特征、单调性等基本性质外，还具有求通项、求和的特定思路与方法，高考中常以“1小1大”的形式考查，难度中档偏下，解答题中也可能与其他知识结合考查求和、求通项问题，如2023新课标Ⅰ卷出现了两道关于数列的大题，T21是结合概率考查数列的递推公式，加强了知识间的横向联系，释放出高考命题不拘泥于“套路”、不沿循“旧制”的主导思想. 小题基准考法——等差数列、等比数列 命题点一　等差、等比数列的基本运算 [真题导向] 1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　 ) A. B. C．15 D．40 解析：选C　若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍去)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15.故选C. 2．(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　 ) A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 解析：选D　设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3. 依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2， 且＝0.725， 所以＝0.725，故k3＝0.9. 3．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________. 解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2. 答案：2 [素养评价] 1．(2023·威海一模)已知等比数列{an}的前三项和为84，a2－a5＝21，则{an}的公比为(　 ) A. B. C．2 D．4 解析：选B　由题意可设{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，∵等比数列{an}的前三项和为84，a2－a5＝21，∴解得q＝，故选B. 2．(2023·聊城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a3a10是{an}中的(　 ) A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项 解析：选A　设等差数列{an}的公差为d，由a5＝5，得a1＋4d＝5①；由a1＋S11＝67，得12a1＋d＝67，即 12a1＋55d＝67②.由①②解得a1＝1，d＝1，所以an＝n.于是a3a10＝3×10＝30，而a30＝30，故a3a10是{an}中的第30项． 3．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意义是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完．出自《庄子·杂篇·天下》，反映了有限与无限的辩证关系．现有一根1米长的棍棒，按照上述截取方法，第n天截取部分的总长度是剩余部分长度的63倍，则n＝(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C　依题意，每天截取的棍棒长度可构成首项为，公比为的等比数列{an}，则an＝n，＋2＋…＋n＝63×n，即1－n＝63×n，n＝，解得n＝6. 4．设Sn为正项等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且S1－2，S2，S3成等差数列，则数列{an}的通项公式为(　 ) A．an＝2n－1 B．an＝3n－1 C．an＝(－1)n－1 D．an＝n－1 解析：选A　设正项等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，S1－2＝－1，S2＝2，S3＝3，不满足2S2＝S1－2＋S3；当q≠1时，2×＝a1－2＋，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以an＝a1qn－1＝2n－1，故选A. 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6<S7，S7＝S8，S8>S9，则符合题意的等差数列{an}的一个通项公式为an＝________. 解析：因为S6<S7，S7＝S8，S8>S9，所以a7>0，a8＝0，a9<0，设数列{an}的公差为d，则d<0，取d＝－1，又a8＝0，可得a1＝7，故数列{an}的一个通项公式为an＝8－n. 答案：8－n(答案不唯一) [一站补给] 知识的“盲点” 熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b为常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1