第一部分 第6板块 层级2 微专题（7）大题专攻——“函数与导数”大题的规范解题路径（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(七)　大题专攻——“函数与导数”大题的规范解题路径 一、题型通法点拨：函数与导数问题重在“分”——分离、分解　 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理.　 [解题示范] [典例]　已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间. (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围. [应用体验] (2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x). (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程. (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围. 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(1＋x)，f′(x)＝－ln(1＋x)＋·， 所以f′(1)＝－ln 2， 又f(1)＝0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0. (2)由题意得f′(x)＝－ln(1＋x)＋·≥0(x>0)，即≥0(x>0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)≥0(x>0). 设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)， 则g′(x)＝2ax＋1－ln(1＋x)－1＝2ax－ln(1＋x). 若a≤0，则g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)<g(0)＝0，不满足题意. 若a>0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－，h′(0)＝2a－1. ①若0<a<，则h′(0)＝2a－1<0，令h′(x)＝0，得x＝－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当0<x<－1时，h′(x)<0，当x>－1时，h′(x)>0， 所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0<x<－1时，g′(x)<g′(0)＝0，即g(x)在上单调递减，g(x)<g(0)＝0，不符合题意； ②若a≥，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝2a－1≥0，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意. 综上所述，a的取值范围为. 二、高频考法精研：有关x与ex，ln x的组合函数的解题技法　 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等.熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. 有关x与ex组合的常见函数的大致图象 有关x与ln x组合的常见函数的大致图象 有关x与ex，ln x组合的函数的大致图象 技法一　指数“找朋友”，对数“单身狗” 设f(x)为可导函数，则有[ex－f(x)]′＝ex－f′(x).若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，针对此类型，可以采用作商的方法，构造′＝，从而达到简化证明和求最值的目的，ex总在找属于它的朋友，这个方法就叫做指数找朋友. 设f(x)为可导函数，则有[f(x)·ln x]′＝f′(x)·ln x＋f(x)·.若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ln x，这类问题需要多次求导，显得烦琐复杂.处理这类函数的技巧是将ln x单独分离出来，就留下ln x这个单身狗，然后研究剩余部分，这个方法就叫做对数单身狗. [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1. [解题观摩] 法一　对数单身狗： 当a＝1时，f(x)＝ex－x2， 令ex＝t(t≥1)， 则原不等式等价于ln t≤ (t≥1). 构造函数g(t)＝ln t－， 则g′(t)＝－＝＝≤0， 所以g(t)在[1，＋∞)上单调递减， 所以g(t)≤g(1)＝0，即ln t≤ ， 所以原不等式得证. 法二　指数找朋友： 当a＝1时，f(x)＝ex－x2， 由不等式f(x)≥1，得x2＋1≤ex. 构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝＝≤0， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(0)＝1， 又因为ex>0，所以x2＋1≤ex， 故原不等式得证. [反思领悟] 由指数函数和对数函