第一部分 第6板块 层级2 微专题（6）导数与函数的零点问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(六)　导数与函数的零点问题 命题点(一)　探求函数零点的个数　 [例1]　已知函数f(x)＝xex－x－1. (1)求函数f(x)在区间[－1,1]上的最值； (2)讨论方程f(x)＝ln x＋m－2实根个数. [关键点拨] 切入点 求导，根据函数的单调性求最值 隐藏点 换元，令t＝xex，构造函数h(t)＝t－ln t＋1(t>0) 迁移点 再根据导函数求出单调性、最值，结合图象求解 [解]　(1)函数f(x)＝xex－x－1的定义域是R， f′(x)＝(x＋1)ex－1， 令g(x)＝f′(x)＝(x＋1)ex－1， 当x∈[－1,1]时，g′(x)＝(x＋2)ex>0， ∴f′(x)在[－1,1]上单调递增. 又x＝0时，f′(x)＝0， ∴当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 故函数f(x)在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 又f(－1)＝－，f(1)＝e－2，f(0)＝－1， 且显然e－2>－， ∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最小值为－1，最大值为e－2. (2)f(x)＝ln x＋m－2即为xex－x－1＝ln x＋m－2，得xex－x－ln x＋1＝m， 即xex－ln(x·ex)＋1＝m，令t＝xex，易知y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，故t>0， 构造函数h(t)＝t－ln t＋1(t>0)， 则h′(t)＝1－＝， 故h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. ∴h(t)min＝h(1)＝2. ①当m<2时，h(t)>m恒成立，方程f(x)＝ln x＋m－2没有实根； ②当m＝2时，若t＝1，则h(t)＝m；若t≠1，则h(t)>m恒成立.方程f(x)＝ln x＋m－2有1个实根； ③当m>2时，h(1)<m， 先证：当t>2时，t>2ln t， 令s(t)＝t－2ln t，∴s′(t)＝1－>0，∴s(t)>s(2)＝2－2ln 2>0，即t>2ln t， ∴当t>2时，h(t)>2ln t－ln t＋1＝ln t＋1，又em>2，∴h(em)>m＋1>m， 当0<t<1时，0<e－m<1，h(e－m)>－lne－m＋1＝m＋1>m， 即h(t)＝m在(e－m,1)，(1，em)上分别有一个零点，而h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)＝m在(0,1)，(1，＋∞)上分别有一个零点， 因此方程f(x)＝ln x＋m－2有2个实根. 方法技巧 求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤 第一步 将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题 第二步 利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象 第三步 结合图象求解 针对训练 1.已知函数f(x)＝ln(2x＋1)＋2ax－4aex＋4，且a>0. (1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值； (2)讨论函数f(x)的零点个数. 解：(1)由题意知，f(x)的定义域为， 当a＝1时，f′(x)＝＋2－4ex， 易得y＝和y＝－4ex＋2都是减函数， 所以f′(x)为减函数， 结合f′(0)＝0可得，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)≤f(0)＝0.即当a＝1时，f(x)的最大值为0. (2)由(1)得当a＝1时，函数f(x)只有一个零点. 由f′(x)＝＋2a－4aex，且a>0， 得函数f′(x)为减函数，设f′(x0)＝0， 即＋2a－4aex0＝0， 函数f(x)的最大值为f(x0). ①当0<a<1时，f(x0)≥f(0)＝4－4a>0， 且x→－时，f(x)→－∞， x→＋∞时，f(x)→－∞， 所以函数f(x)在x0的两侧各有一个零点. ②当a>1时，f′(0)＝2－2a<0， 所以可得x0∈. 利用＋2a－4aex0＝0代入到原函数中可得， f(x0)＝ln(2x0＋1)＋2ax0－4aex0＋4＝ln(2x0＋1)＋2ax0－－2a＋4， 设g(x0)＝ln(2x0＋1)＋2ax0－－2a＋4， x0∈. 容易判定g(x0)是关于x0的增函数， 所以g(x0)<g(0)＝2－2a<0， 所以函数f(x)的最大值为f(x0)<0，即当a>1时，函数f(x)无零点. 综上，当0<a<1时，函数f(x)有两个零点；当a＝1时，函数f(x)有一个零点；当a>1时，函数f(x)无零点. 命题点(二)　由函数零点的个数求参数　 [例2]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(