第一部分 第6板块 层级2 微专题（5）导数与不等式的证明问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(五)　导数与不等式的证明问题 命题点(一)　单变量不等式的证明问题　 [例1]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋. [解]　(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)>0，得x＞－ln a，令f′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增. 综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增. (2)证明：法一　最值法：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a， 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)，所以g′(a)＝2a－，令g′(a)＞0，得a＞；令g′(a)＜0，得0＜a＜.所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为g＝2－ln －＝ln ＞0，所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立. 法二　分析法：当a＞0时，由(1)得f(x)min＝f(－ln a)＝1＋a2＋ln a， 故欲证f(x)＞2ln a＋成立， 只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋， 即证a2－＞ln a. 构造函数u(a)＝ln a－(a－1)(a＞0)， 则u′(a)＝－1＝，所以当a＞1时，u′(a)＜0，当0＜a＜1时，u′(a)＞0. 所以函数u(a)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以u(a)≤u(1)＝0，即ln a≤a－1， 故只需证a2－＞a－1，即证a2－a＋＞0， 因为a2－a＋＝2＋＞0恒成立， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立. 方法技巧 证明不等式的基本方法 利用单调性 若f(x)在[a，b]上是增函数，则 ①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)； ②∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2). 对于减函数有类似结论 利用最值 若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m) 构造函数 证明f(x)＜g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)＜0 针对训练 1.设函数f(x)＝x3＋ln(x＋1). (1)求曲线y＝f(x)在处的切线方程； (2)证明：当n∈N*且n≥2时，ln(n＋1)>＋＋…＋. 解：(1)显然，x∈(－1，＋∞)，且f′(x)＝3x2＋，故f′(0)＝1， 故切线方程为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝x. (2)证明：令g(x)＝x3＋ln(x＋1)－x2， g′(x)＝3x2－2x＋＝＝. 当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 故g(x)>g(0)＝0， 即当x>0时，ln(x＋1)＋x3－x2>0. 令x＝，得ln＋－>0， 即ln(n＋1)－ln n>－＝， 由此可得，ln 2－ln 1>－＝0， ln 3－ln 2>－＝， … ln(n＋1)－ln n>－＝， 将以上n个式子相加，得ln(n＋1)>＋＋…＋，n∈N*且n≥2. 命题点(二)　极值点偏移问题(双变量不等式)　 [例2]　(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. [关键点拨] 切入点 由导数确定函数单调性及最值 隐藏点 f(x)的零点满足x1<1<x2，要证x1x2<1，即证x1< 迁移点 转化要证明条件为－xe－2>0 [解]　(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 由f′(x)＝－＋1＝＝， 可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 所以f(x)min＝f(1)＝e＋1－a. 又f(x)≥0，所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1， 所以a的取值范围为(－∞，e＋1]. (2)证明：法一：不妨设x1<x2，则由(1)知0<x1<1<x2，即>1. 令F(x)＝f(x)－f， 则F′(x)＝＋×＝. 令g(x)＝ex＋x－xe－1， 则g′(x)＝ex＋1－e＋xe×＝ex＋1＋e，所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0， 所以当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)＝0， 所以当x∈(0,1)时，F′(x)>0， 所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以F(x)<F(