第一部分 第6板块 层级2 微专题（4）导数与不等式恒（能）成立问题（Word教参）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(四)　导数与不等式恒(能)成立问题　　　 命题点(一)　分类讨论解决不等式恒成立问题　 [例1]　已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围. [关键点拨] 切入点 (1)构造函数m(x)，判断f′(x)的单调性，进而判断f(x)的单调性； (2)构造函数，把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题 障碍点 不能把导函数正确的分解因式，分类讨论的标准不可解 [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1.令m(x)＝f′(x)＝ex＋2x－1， 则m′(x)＝ex＋2>0. 所以m(x)在R上单调递增， 即f′(x)在R上单调递增. 注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. (2)f(x)≥x3＋1等价于e－x≤1. 设函数g(x)＝e－x(x≥0)， 则g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x. ①若2a＋1≤0，即a≤－，则当x∈(0,2)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0,2)时，g(x)＞1，不符合题意. ②若0＜2a＋1＜2，即－＜a＜， 则当x∈(0,2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)＜0； 当x∈(2a＋1,2)时，g′(x)＞0. 所以g(x)在(0,2a＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a＋1,2)上单调递增. 由于g(0)＝1， 所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)·e－2≤1， 即a≥.所以当≤a＜时，g(x)≤1. ③若2a＋1≥2，即a≥， 则g(x)≤e－x. 由于0∈， 故由②可得e－x≤1.故当a≥时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是. 方法技巧 不等式恒成立问题的解题关键点 针对训练 1.已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围. 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间. ②当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<； 由f′(x)<0，得x>. 所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. (2)f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x－a(x－1)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立. 设g(x)＝ln x－a(x－1)，x>0，则g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0， ①当a≥1时，g′(x)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立， 则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)＝0，即a≥1时满足题意. ②当0<a<1时，由(1)知，g(x)在上单调递增，所以当x∈时，g(x)>g(1)＝0，即0<a<1时不满足题意(舍去). ③当a≤0时，由(1)知，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，即a≤0时不满足题意(舍去).综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞). 命题点(二)　分离参数解决不等式恒成立问题　 [例2]　已知函数f(x)＝(x＋a)ln x－x2－ax＋a－1. (1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)＞aln x－x2－2x在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值. [关键点拨] 切入点 (1)问直接求导判断函数f(x)的单调区间. (2)问看到求整数a的最大值，想到分离参数a，然后构造函数，利用导数及函数的性质求解 迁移点 把f(x)＞aln x－x2－2x转化为a＜在(1，＋∞)上恒成立 障碍点 (1)想不到分离导数，导致对a进行分类讨论. (2)构造函数后，若其导函数无法直接判断单调性，不要忽略零点存在定理的应用 [解]　(1)若a＝1，则f(x)＝(x＋1)ln x－x2－x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，得f′(x)＝ln x－x＋. 设g(x)＝ln x－x＋，则g′(x)＝－1－＝＝＜0. 故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0， 故当x∈(0,1)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，f(x)单调递减. 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)原不等式等价于xln x－a(x－1)＋2x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立， 即a＜在(1，＋∞